Question

Найдите число целых значений функции y=2^(1-4x-x^2)

Answer 1

$y=2^{1-4x-x^2}$

Это показательная функция, которая определена при любых х, и принимает только положительные значения.

$y'=2^{1-4x-x^2}\cdot\ln 2\cdot(-4-2x)$

y'=0 при x=-2

⇒ -2 - точка, подозрительная на экстремум.

y'     +        -

   --------|---------> x

y      ↗  -2  ↘

y > 0 при x < -2 ⇒ функция у возрастает при х ≤ -2

y < 0 при x > -2 ⇒ функция у убывает при х ≥ -2

Тогда х = -2 - точка максимума

$y=2^{1+8-4}=2^5=32$ - максимум

Множество значений - это 0 < y ≤ 32

Число целых значений есть 32.

Ответ: 32.

Answer 2

Для найти число целых значений функции y = 2^(1-4x-x^2), мы должны рассмотреть, при каких значениях переменной x результат будет являться целым числом.

Заметим, что основание степени 2 всегда положительное число, и экспонента (1-4x-x^2) также всегда отрицательна, так как коэффициент при x^2 отрицателен, и значение этого выражения уменьшается с ростом x.

Чтобы результат был целым числом, основание степени 2 должно быть равно 2 в некоторой степени, то есть 2^k (где k - целое число). Однако такое равенство возможно только если экспонента равна нулю:

1 - 4x - x^2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

x^2 + 4x - 1 = 0

Используем квадратную формулу: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 4 и c = -1

x = (-(4) ± √((4)^2 - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1)

x = (-4 ± √(16 + 4)) / 2

x = (-4 ± √20) / 2

x = (-4 ± 2√5) / 2

x = -2 ± √5

Таким образом, получаем два значения x: x₁ = -2 + √5 и x₂ = -2 - √5.

Теперь вычислим соответствующие значения функции y для обоих x:

y₁ = 2^(1 - 4 * (-2 + √5) - (-2 + √5)^2)

y₂ = 2^(1 - 4 * (-2 - √5) - (-2 - √5)^2)

Подставим значения и вычислим результат:

y₁ ≈ 2^3.472 ≈ 12.405

y₂ ≈ 2^0.528 ≈ 1.349

Оба значения y не являются целыми числами. Таким образом, функция y = 2^(1-4x-x^2) не принимает целых значений при любых значениях x.