Question

Найти наибольшее значение функции x³+3x²-9x-27

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции x³ + 3x² - 9x - 27, мы должны найти её вершину, так как это будет точка максимума или минимума функции. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции: f'(x) = d/dx (x³ + 3x² - 9x - 27).
2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
3. Используем вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка точкой максимума или минимума.
4. Если у нас только одна критическая точка и она является точкой максимума, это будет наибольшее значение функции. Если у нас есть несколько критических точек, нам нужно будет сравнить значения функции в этих точках, чтобы определить наибольшее значение.

Шаг 1: Найдем производную функции: f'(x) = d/dx (x³ + 3x² - 9x - 27) = 3x² + 6x - 9.

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0: 3x² + 6x - 9 = 0.

Шаг 3: Определим, является ли критическая точка точкой максимума или минимума, используя вторую производную: f''(x) = d/dx (3x² + 6x - 9) = 6x + 6.

Чтобы определить характер критической точки, подставим значение x из критической точки во вторую производную.

f''(x) = 6x + 6.

Если f''(x) > 0 при x из критической точки, это означает, что функция в этой точке имеет локальный минимум. Если f''(x) < 0, это означает, что функция имеет локальный максимум.

Решим уравнение f''(x) = 0: 6x + 6 = 0, 6x = -6, x = -1.

Шаг 4: Теперь найдем значение функции в критической точке x = -1 и также на концах интервала, чтобы найти наибольшее значение функции.

Вычислим f(-1): f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² - 9(-1) - 27 = -1 + 3 + 9 - 27 = -16.

Теперь вычислим значение функции на концах интервала. Поскольку функция - многочлен, она неограниченно убывает или возрастает на бесконечности.

Когда x стремится к бесконечности (x → ∞): f(x) → ∞.

Когда x стремится к отрицательной бесконечности (x → -∞): f(x) → -∞.

Итак, наибольшее значение функции x³ + 3x² - 9x - 27 равно -16.