Question

Исследуйте и постройте график функции y=x^3-x^2

Answer 1

1) Обл.опред. (-∞;∞)

2) Обл. значений (-∞;∞)

3) пересечение с осями (0;0) и (1;0)

4) у(x) возрастает при х∈(-∞;0)U[2/3;∞)

5) y(x) убывает при х∈[0;2/3]

6) экстремумы ф-ции 0 и (-4/27) при х=0 и х=2/3.

Answer 2

Для исследования и построения графика функции y = x^3 - x^2, мы сначала проанализируем основные характеристики этой функции, а затем построим её график.

1. Найдем точки пересечения с осями координат: Для точки пересечения с осью x (y = 0): 0 = x^3 - x^2 x^2(x - 1) = 0 x = 0 или x = 1

Для точки пересечения с осью y (x = 0): y = 0^3 - 0^2 y = 0

Таким образом, у функции есть точки пересечения с осями координат: (0, 0) и (1, 0).

2. Найдем значение производной функции: y' = d/dx (x^3 - x^2) = 3x^2 - 2x

3. Найдем критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует): 3x^2 - 2x = 0 x(3x - 2) = 0 x = 0 или x = 2/3

4. Определим выпуклость функции (вторая производная): y'' = d^2/dx^2 (x^3 - x^2) = d/dx (3x^2 - 2x) = 6x - 2

5. Определим интервалы убывания и возрастания функции, а также выпуклости и вогнутости:

   • Интервалы убывания: При x < 0 и 0 < x < 2/3 функция убывает.

   • Интервалы возрастания: При 0 < x < 2/3 и x > 2/3 функция возрастает.

   • Точки минимума и максимума: Так как у функции всего одна критическая точка внутри области рассмотрения (x = 2/3), и она меняет направление с убывания на возрастание, то в этой точке есть локальный минимум.

   • Выпуклость и вогнутость: Функция будет выпуклой (вогнутой вверх) на интервале 0 < x < 2/3, так как y'' > 0 на этом интервале. На интервале x > 2/3 она будет вогнутой вниз, так как y'' < 0.

6. Найдем пределы функции при стремлении x к плюс и минус бесконечности: lim (x -> +∞) (x^3 - x^2) = +∞ lim (x -> -∞) (x^3 - x^2) = -∞

Теперь построим график функции y = x^3 - x^2, используя полученные характеристики:

На графике видно, что функция проходит через точки пересечения с осями координат (0, 0) и (1, 0). Она имеет локальный минимум в точке (2/3, -4/27). Функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 2/3) и возрастает на интервале (2/3, +∞). Также функция является выпуклой (вогнутой вверх) на интервале (0, 2/3) и вогнутой вниз на интервале (2/3, +∞).