Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ, ТОЛЬКО РЕШИТЕ ХОРОШО На доске пишут числа. За одну операцию можно дописать сразу два числа — 2 • А и 3 • А, если на доске уже написано число А. Можно ли, начав с некоторого числа и дописывая числа по указанному правилу, добиться того, чтобы сумма всех чисел на доске стала равна 2007?

Answer 1

Ответ:

Нельзя

Объяснение:

Два наблюдения:

1. Каждый раз сумма увеличивается на 5A, поэтому остаток от деления суммы на 5 не меняется и совпадает с остатком от деления на 5 исходного числа.
2. Каждое слагаемое делится на исходное число, поэтому исходное число является делителем суммы.

Итак, исходное число дает остаток 2 при делении на 5.

Все делители числа 2007: 1, 3, 9, 223, 669, 2007.

Среди собственных делителей числа 2007 (то есть меньших самого числа) нет ни одного делителя, дающего остаток 2 при делении на 5, значит, получить сумму 2007 не получится.

Answer 2

Для решения этой задачи рассмотрим ограничения, связанные с указанными операциями:

• При каждой операции сумма чисел на доске увеличивается на число, которое является результатом сложения двух чисел: 2 • А + 3 • А = 5 • А.
• Следовательно, сумма всех чисел на доске всегда будет кратна 5.

Теперь посмотрим на число 2007:

2007 = 5 * 401.

Так как 2007 делится на 5, то сумма всех чисел на доске также должна быть кратна 5, чтобы достичь этой суммы. Однако число 401 не делится на 5, а значит, мы не сможем получить сумму 2007 с помощью описанных операций.

Таким образом, невозможно добиться суммы 2007 на доске, начиная с некоторого числа и выполняя операции 2 • А и 3 • А.