Question

Найти наибольшее натуральное число n такое, что 3^2016 - 1 кратное 2^n

Answer 1

Ответ:

Объяснение: в приложении

Answer 2

Чтобы найти наибольшее натуральное число n, при котором число 3^2016 - 1 делится на 2^n, нужно разложить выражение 3^2016 - 1 на множители и найти наибольшую степень 2 в этом разложении.

Для начала, заметим, что:

3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 = 2^3,

3^4 - 1 = 81 - 1 = 80 = 2^4 * 5,

3^6 - 1 = 729 - 1 = 728 = 2^3 * 7^2,

3^8 - 1 = 6561 - 1 = 6560 = 2^5 * 5 * 41,

3^10 - 1 = 59049 - 1 = 59048 = 2^3 * 13 * 359.

Мы видим, что 3^6 - 1 делится на 2^3, а 3^8 - 1 делится на 2^5, и так далее.

Теперь найдем наибольшее натуральное число n для 3^2016 - 1. Мы знаем, что 2016 = 6 * 336, поэтому:

3^2016 - 1 = (3^6)^336 - 1.

Используя разность квадратов, получим:

3^2016 - 1 = (3^6)^336 - 1 = (3^6 - 1) * (3^6)^335 + (3^6 - 1) * (3^6)^334 + ... + (3^6 - 1).

Теперь мы знаем, что (3^6 - 1) делится на 2^3, так что каждый из слагаемых делится на 2^3.

Теперь давайте вернемся к исходному вопросу и найдем наибольшее натуральное число n. Мы знаем, что каждый из множителей (3^6 - 1) * (3^6)^335 + (3^6 - 1) * (3^6)^334 + ... + (3^6 - 1) делится на 2^3. Исходное выражение также делится на 2^3.

Таким образом, наибольшее натуральное число n такое, что 3^2016 - 1 делится на 2^n, равно 3.