Question

Найдите значения k, при которых система уравнений имеет единственное решение. x+y=k x^2+y^2=9

Answer 1

Ответ: k=+-3√2

Объяснение:

x^2+y^2=9

x^2+y^2=3^2 -это  окружность  с центром  в начале координат (0;0) с радиусом равным 3.

1  решение  будет ,  когда прямая  x+y-k=0  касается окружности , или  расстояние от  начала координат до  этой прямой  равно  радиусу , то  есть 3.

Расстояние от точки до прямой :

S= | A*x0+B*y0+C|/√(A^2+B^2) = |1*0+1*0-k|/√2=|k|/√2

A=B=1

C=-k

x0=y0=0

|k|/√2=3

k=+-3√2

2)  способ

Выразим y=k-x

x^2+(k-x)^2=9

2x^2-2kx +k^2-9=0

1 решение  когда D=0

D/4=k^2-2*(k^2-9)=18-k^2=0

k=+-√18=+-3√2

Answer 2

Чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы прямая x + y = k и окружность x^2 + y^2 = 9 пересекались в единственной точке.

Прямая x + y = k можно выразить в виде y = k - x. Подставим это выражение в уравнение окружности:

x^2 + (k - x)^2 = 9

Раскроем скобки и упростим уравнение:

x^2 + (k^2 - 2kx + x^2) = 9 2x^2 - 2kx + k^2 - 9 = 0

Это квадратное уравнение. Для того, чтобы имелось единственное решение, дискриминант должен быть равен нулю:

D = (-2k)^2 - 4(2)(k^2 - 9) = 0

Упростим это уравнение:

4k^2 - 8k^2 + 72 = 0 -4k^2 + 72 = 0 4k^2 = 72 k^2 = 18 k = ±√18

Таким образом, значения k, при которых система уравнений имеет единственное решение, равны ±√18.