Question

ДОКАЖИТЕ ЧТО ПРИ ЛЮБОМ НАТУРАЛЬНОМ N ВЫРАЖЕНИЕ 7^N-6*2^N ДЕЛИТСЯ НА 5

Answer 1

Докажем методом математической индукции.

1) База индукции: $n=1$

$7^1-6\cdot 2^1=-5$ делится на 5.

2) Предположим, что и при $n=k$ выражение $\left(7^k-6\cdot 2^k\right)~\vdots~5$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$7^{k+1}-6\cdot 2^{k+1}=7\cdot 7^k-12\cdot 2^k=7\cdot 7^k-42\cdot 2^k+30\cdot 2^k=\\ \\ =7\cdot\left(\underbrace{7^k-6\cdot 2^k}_{div~5}\right)+30\cdot 2^k$

Первое слагаемое делится на 5 по предположению (пункт 2), а второе слагаемое тоже делится на 5, так как имеет сомножитель 30. Следовательно, $\left(7^n-6\cdot 2^n\right)~\vdots~5$ для всех натуральных $n.$

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $7^N - 6 \cdot 2^N$ делится на 5 при любом натуральном $N$, давайте воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая Для $N = 1$: $7^1 - 6 \cdot 2^1 = 7 - 12 = -5$, что делится на 5, так как $-5 = -1 \cdot 5$.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что выражение $7^k - 6 \cdot 2^k$ делится на 5 для некоторого натурального числа $k$. То есть, предположим, что существует целое число $m$, такое что $7^k - 6 \cdot 2^k = 5 \cdot m$.

Шаг 3: Доказательство индукции Теперь докажем, что выражение $7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1}$ также делится на 5, используя предположение индукции.

$$\begin{align*} 7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1} &= 7 \cdot 7^k - 6 \cdot 2 \cdot 2^k \\ &= 7 \cdot 7^k - 12 \cdot 2^k \\ &= 7 \cdot 7^k - (6 \cdot 2^k + 6 \cdot 2^k) \\ &= 7 \cdot 7^k - (6 \cdot 2^k - 6 \cdot 2^k) \\ &= 7 \cdot 7^k - 6 \cdot 2^k + 6 \cdot 2^k \\ &= (7^k - 6 \cdot 2^k) + 6 \cdot 2^k \\ &= 5m + 6 \cdot 2^k \quad \text{(используем предположение индукции)} \\ &= 5m + 5 \cdot 2^k + 2^k \\ &= 5(m + 2^k) + 2^k \end{align*}$$

Таким образом, мы видим, что $7^{k+1} - 6 \cdot 2^{k+1}$ представляется в виде $5(m + 2^k) + 2^k$. Так как $m$ и $2^k$ являются целыми числами, $5(m + 2^k)$ делится на 5. Кроме того, $2^k$ также делится на 5, потому что $2^k = 5 \cdot \text{целое число}$. Таким образом, всё выражение делится на 5.

Заключение Мы доказали, что если выражение $7^N - 6 \cdot 2^N$ делится на 5 для некоторого натурального числа $N$, то оно также делится на 5 для $N + 1$. Исходя из базового случая, предположения индукции и доказательства индукции, можно сделать вывод, что выражение $7^N - 6 \cdot 2^N$ делится на 5 для всех натуральных чисел $N$.