Question

Mатематический индукция 1*3+2*5+...+n(2n+1)=n(n+1)(4n+5)/6 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!

Answer 1

В равенстве слева сумма имеет общий член $a_n=n(2n+1)$

1) Базис индукции: $n=1$

$1\cdot (2\cdot 1+1)=\dfrac{1\cdot (1+1)\cdot (4\cdot 1+5)}{6}~~~\Rightarrow~~~ 3=3$

2) Предположим, что и для $n=k$ верно равенство

$1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)=\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$\underbrace{1\cdot 3+2\cdot 5+...+k(2k+1)}_{\frac{k(k+1)(4k+5)}{6}}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\\\\dfrac{k(k+1)(4k+5)}{6}+(k+1)(2k+3)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\left(\dfrac{k(4k+5)}{6}+2k+3\right)=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ (k+1)\cdot \dfrac{4k^2+5k+12k+18}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}\\ \\ \\ \dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}=\dfrac{(k+1)(k+2)(4k+9)}{6}$

Равенство выполняется для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства методом математической индукции, нам нужно выполнить два шага: базовый шаг и шаг индукции.

Шаг 1: Базовый шаг При n = 1, проверим, что равенство выполняется: 1(21+1) = 1(3) = 3 n(n+1)(4n+5)/6 = 1(1+1)(41+5)/6 = 1(2)(9)/6 = 18/6 = 3

Таким образом, базовый шаг выполнен.

Шаг 2: Шаг индукции Допустим, для некоторого положительного целого числа k формула верна: 13 + 25 + ... + k(2k+1) = k(k+1)(4k+5)/6

Теперь докажем, что из этого следует, что формула верна и для (k + 1), то есть: 13 + 25 + ... + k(2k+1) + (k+1)(2(k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)(4(k+1)+5)/6

Доказательство: Исходное предположение: 13 + 25 + ... + k(2k+1) = k(k+1)(4k+5)/6

Добавим (k+1)(2(k+1)+1) к обеим сторонам:

13 + 25 + ... + k(2k+1) + (k+1)(2(k+1)+1) = k(k+1)(4k+5)/6 + (k+1)(2(k+1)+1)

Теперь объединим правую часть:

k(k+1)(4k+5)/6 + (k+1)(2(k+1)+1) = (k+1)(k(4k+5)/6 + 2(k+1)+1)

Теперь упростим первую часть:

k(4k+5)/6 = (4k^2+5k)/6

Теперь заменим в правой части k на (k+1):

(4(k+1)^2+5(k+1))/6 = (4k^2+8k+4+5k+5)/6 = (4k^2+13k+9)/6 = (k+1)(4k+9)/6

Теперь подставим обратно в равенство:

(k+1)(k(4k+5)/6 + 2(k+1)+1) = (k+1)(4k+9)/6

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для (k+1). Шаг индукции выполнен.

Таким образом, используя метод математической индукции, мы доказали равенство:

13 + 25 + ... + n(2n+1) = n(n+1)(4n+5)/6 для всех положительных целых чисел n.