Question

1. Докажите иррациональность числа √3-√15. 2. Клиент получает в банке кредитную карту. Четыре последние цифры номера карты случайные. Какова вероятность того, что эти последние четыре цифры состоят из двух повторяющихся групп по 2 различные цифры, например 0404 или 5252?

Answer 1

Ответ:

0.009

Объяснение:

1)

Пусть $\sqrt{3}-\sqrt{15}=A$.

Предположим, что A - рациональное число.

Тогда:

$(\sqrt{3}-\sqrt{15})^2=A^2\\18-6\sqrt{5}=A^2\\6\sqrt{5}=18-A^2$

Т.к. A - рациональное число, то A² тоже. Значит и 18-A²=B - рациональное число.

Тогда:

$6\sqrt{5}=B$

Поскольку $6\sqrt{5}$ - иррациональное число, то получили противоречие. Значит наше первоначальное предположение ложно. Поэтому $\sqrt{3}-\sqrt{15}$ иррациональное число.

Доказано!

2)

P = A/N

Минимальная комбинация 0000, максимальная 9999. => Всего 10000 вариантов комбинаций. Рассмотрим варианты:

0101, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909...

Понимаем, что и для 1x1x у нас будет столько же комбинаций, сколько для 0x0x. Всего таких x от 0 до 9 => 10. Тогда 10*9 = 90. Итого, благоприятных событий 90, а всего 10000. Найдем вероятность:

90/10000 = 0.009 (или 0.9%)

Answer 2

1. Докажем иррациональность числа √3 - √15 методом от противного. Предположим, что число √3 - √15 рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, а q ≠ 0.

Тогда имеем: √3 - √15 = p/q

Перенесем √15 на одну сторону: √3 = p/q + √15

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат: 3 = (p/q + √15)^2 3 = (p/q)^2 + 2 * p/q * √15 + 15

Выразим корень: √15 = (3 - (p/q)^2 - 15) / (2 * p/q)

Теперь у нас есть уравнение с двумя корнями: √3 и √15. Но оба числа положительные, поэтому можем исключить рассмотрение отрицательного корня. Это означает, что √15 является рациональным числом.

Теперь вернемся к уравнению √3 = p/q + √15. Поскольку √15 рациональное, а √3 и p/q рациональные (по предположению), то их сумма также должна быть рациональной. Однако мы знаем, что √3 иррационально, что противоречит предположению. Таким образом, наше предположение было неверным, и число √3 - √15 является иррациональным.

2. Для определения вероятности того, что четыре последние цифры номера карты состоят из двух повторяющихся групп по 2 различные цифры, давайте рассмотрим возможные варианты.

Первая пара цифр может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9). Вторая пара цифр также может быть любой из 10 цифр. Однако чтобы учесть условие о различных цифрах в каждой группе, вторую пару нужно выбрать из 9 цифр (все кроме той, которая уже выбрана для первой пары).

Таким образом, всего возможных вариантов составления двух повторяющихся групп по 2 различные цифры: 10 * 9 = 90.

Теперь посчитаем общее количество возможных комбинаций четырех цифр на карте. Каждая из четырех цифр может быть любой из 10 цифр, поэтому всего комбинаций: 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000.

Таким образом, вероятность того, что четыре последние цифры номера карты состоят из двух повторяющихся групп по 2 различные цифры, равна: 90 / 10,000 = 0.009 или 0.9%.