Question

Найдите коэффициент при ×3 в биноминальном разложении (3-2×)4​

Answer 1

По формуле бинома Ньютона:

$\displaystyle (3-2x)^4=\sum^{4}_{k=0}C^k_4\cdot 3^{4-k}\cdot (-2x)^k$

Найдем коэффициент при степени 3, взяв k = 3

$a_3=C^3_4\cdot 3^{4-3}\cdot (-2)^3=4\cdot 3\cdot (-8)=-96$

Ответ: -96

Answer 2

Для нахождения коэффициента при ×3 в биноминальном разложении (3-2×)^4, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона для разложения (a+b)^n выглядит следующим образом:

(a+b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n,

где C(n,k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k", равный n!/(k!(n-k)!), где "!" обозначает факториал.

В нашем случае, a = 3, b = -2x и n = 4. Мы ищем коэффициент при x^3, поэтому нам нужно найти члены, в которых степень x равна 3.

Давайте разложим (3-2x)^4, используя формулу бинома Ньютона:

(3-2x)^4 = C(4,0)3^4(-2x)^0 + C(4,1)3^3(-2x)^1 + C(4,2)3^2(-2x)^2 + C(4,3)3^1(-2x)^3 + C(4,4)3^0(-2x)^4.

Выполняя вычисления, получим:

(3-2x)^4 = 181(-2x)^0 + 427(-2x)^1 + 69(-2x)^2 + 43(-2x)^3 + 1*(-2x)^4 = 81 + (-216x) + 108x^2 + (-24x^3) + 16x^4.

Таким образом, коэффициент при x^3 в разложении (3-2x)^4 равен -24.