Question

Найдите коэффициент при х^3 в биноминальном разложении (5+2х)^4

Answer 1

$(5+2x)^4\displaystyle =\sum^4_{k=0}C^k_4\cdot (2x)^{k}\cdot (5)^{4-k}$

Нас интересует слагаемое, содержащее x в третьей степени, то есть.

$C_{4}^{3}* (2x)^{3}*(5)^{4-3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}*8x^{3}*5=\frac{1*2*3*4}{1*2*3}*40x^{3}=160x^{3} \\\\Otvet:\boxed{160}$

Answer 2

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+3ab³+b⁴

(5+2x)⁴ = 5⁴+4·5³·2x+6·5²·(2x)²+4·5·(2x)³+(2x)⁴ = 625+1000x+600x²+160x³+16x⁴  

Ответ: 160

Answer 3

Для нахождения коэффициента при х^3 в биноминальном разложении (5+2х)^4, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула выглядит следующим образом:

(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n

где C(n,r) обозначает биномиальный коэффициент "n по r", определяемый как C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!), а "!" обозначает факториал.

В нашем случае a = 5, b = 2х и n = 4. Мы ищем коэффициент при х^3, поэтому r = 3.

Используя формулу, мы можем записать:

(5+2х)^4 = C(4,0) * 5^4 * (2х)^0 + C(4,1) * 5^3 * (2х)^1 + C(4,2) * 5^2 * (2х)^2 + C(4,3) * 5^1 * (2х)^3 + C(4,4) * 5^0 * (2х)^4

Раскроем все выражения и упростим:

(5+2х)^4 = 1 * 5^4 * 1 + 4 * 5^3 * 2х + 6 * 5^2 * (2х)^2 + 4 * 5^1 * (2х)^3 + 1 * 5^0 * (2х)^4

Теперь можем найти коэффициент при х^3:

Коэффициент при х^3 = 4 * 5^1 * (2х)^3 = 4 * 5 * (8х^3) = 160х^3

Итак, коэффициент при х^3 в биноминальном разложении (5+2х)^4 равен 160.