Question

Найдите коэффициент при х3 в биноминальном разложении (4-2х)4

Answer 1

$\boxed{\ (a+b)^4=a^4+C_4^1a^3b+C_4^2a^2b^2+C_4^3ab^3+b^4\ }\\\\\\(4-2x)^4=(4+(-2x))^4=4^4+4\cdot 4^3\cdot (-2x)+6\cdot 4^2\cdot (-2x)^2+\underbrace {4\cdot 4\cdot (-2x)^3}_{-4\cdot 4\cdot 8\cdot x^3}+(-2x)^4\\\\\\u_4=-4\cdot 4\cdot 8\cdot x^3=-128\, x^3$

Коэффициент  при  $x^3$   равен   $(-128)$ .

Answer 2

Чтобы найти коэффициент при x^3 в биномиальном разложении выражения (4 - 2x)^4, мы можем использовать формулу бинома Ньютона:

(a - b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент "n по k" и вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

В данном случае у нас a = 4, b = -2x и n = 4. Мы ищем член с коэффициентом при x^3, то есть с k = 1:

C(4, 1) * (4)^3 * (-2x)^1 = 4 * 64 * (-2x) = -512x.

Таким образом, коэффициент при x^3 в биномиальном разложении (4 - 2x)^4 равен -512.