Question

Найдите площадь фигуры , ограниченной данной параболой и осью абсцисс f(x)=-2(x-3)^2+2

Answer 1

$y=-2(x-3)^2+2\; \; ,\; \; y=0\\\\-2(x-3)^2+2=0\; \; \to \; \; (x-3)^2=1\; \; ,\; \; x-3=\pm 1\; ,\\\\x_1=2\; ,\; x_2=4\\\\\\S=\int\limits^4_2\, (-2(x-3)^2+2)\, dx=-2\int\limits^4_2\, (x^2-6x+8)\, dx=\\\\=-2\cdot (\frac{x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}+8x)\Big |_2^4=-2\cdot (\frac{64}{3}-48+32-\frac{8}{3}+12-16)=\\\\=-2\cdot (\frac{56}{3}-20)=\frac{8}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс, нам понадобится интеграл. Поскольку данная парабола f(x) = -2(x-3)^2 + 2 открыта вниз, она будет пересекать ось абсцисс в двух точках.

Чтобы найти эти точки пересечения, приравняем f(x) к нулю и решим уравнение: -2(x-3)^2 + 2 = 0

Раскроем скобки: -2(x^2 - 6x + 9) + 2 = 0 -2x^2 + 12x - 18 + 2 = 0 -2x^2 + 12x - 16 = 0

Разделим уравнение на -2: x^2 - 6x + 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного корня: (x - 4)(x - 2) = 0

Из этого уравнения получаем два значения x: x = 4 и x = 2

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс, возьмем интеграл от функции f(x) на интервале от x = 2 до x = 4.

S = ∫[2, 4] f(x) dx

Вычислим интеграл: S = ∫[2, 4] -2(x-3)^2 + 2 dx

S = [-2/3(x-3)^3 + 2x] [2, 4]

S = (-2/3(4-3)^3 + 2(4)) - (-2/3(2-3)^3 + 2(2))

S = (-2/3(1)^3 + 8) - (-2/3(-1)^3 + 4)

S = (-2/3 + 8) - (-2/3 + 4)

S = (22/3) - (10/3)

S = 12/3

S = 4

Площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс, равна 4.