Question

Найдите площадь фигуры ограниченной данной параболой и осью абсцисс f(x)=-2(x-1)^2+8

Answer 1

Ответ:

$f(x)=-2(x-1)^2+8\ \ ,\ \ y=0\\\\-2(x-1)^2+8=0\ \ \to \ \ \ (x-1)^2=4\ \ ,\\\\x-1=-2\ ,\ x_1=-1\ \ ,\ \ \ x-1=2\ \ ,\ \ x_2=3\\\\\\S=\int\limits^3_{-1}\, \Big(-2(x-1)^2+8\Big)\, dx=\Big(-2\cdot \dfrac{(x-1)^3}{3}+8x\Big)\Big|_{-1}^3=\\\\\\=-\dfrac{2}{3}\cdot (8+8)+8\cdot (3+1)= 32-\dfrac{32}{3}=\dfrac{64}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс, вам нужно найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади между ними.

Данная парабола имеет уравнение f(x) = -2(x - 1)^2 + 8. Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс (y = 0), решим уравнение -2(x - 1)^2 + 8 = 0:

-2(x - 1)^2 + 8 = 0

Теперь разрешим это уравнение:

-2(x - 1)^2 + 8 = 0

Разделим обе стороны на -2:

(x - 1)^2 - 4 = 0

Теперь добавим 4 к обеим сторонам:

(x - 1)^2 = 4

Извлечем квадратный корень:

x - 1 = ±2

Теперь решим для x:

x = 1 ± 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = -1 и x = 3.

Теперь, чтобы найти площадь между параболой и осью абсцисс на интервале [-1, 3], мы можем взять интеграл от модуля функции f(x):

S = ∫[a, b] |f(x)| dx

где a = -1 и b = 3. Подставим уравнение параболы:

S = ∫[-1, 3] |-2(x - 1)^2 + 8| dx

Теперь выполним вычисления:

S = ∫[-1, 3] |2(x - 1)^2 - 8| dx

S = ∫[-1, 3] 2(x - 1)^2 - 8 dx

Теперь найдем интеграл:

S = [2/3(x - 1)^3 - 8x] |[-1, 3]

Вычислим значение на верхнем и нижнем пределах:

S = [2/3(3 - 1)^3 - 8(3)] - [2/3(-1 - 1)^3 - 8(-1)]

S = [2/3(2^3) - 24] - [2/3(-2^3) + 8]

S = [16/3 - 24] - [-16/3 + 8]

S = (16/3 - 24) + (16/3 - 8)

S = (16/3 + 16/3) - (24 + 8)

S = (32/3) - 32

S = (32/3) - (96/3)

S = -64/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной данной параболой и осью абсцисс на интервале [-1, 3], равна -64/3 квадратных единиц.