Question

Используя результаты в задании 1б, постройте график функции f(x)=-x²-4x+1. Найдите по графику:а)нули функции; промежутки, в которых f(x)<0 и f(x)>0. б)промежутки возрастания и убывания функции; наибольшее её значение​

Answer 1

ДАНО:  f(x) = -x² - 4*x + 1.

Объяснение:

Рисунок с графиком функции в приложении.

1)  Область определения функции - ООФ - непрерывная, гладкая.

D(f) = R,   D(f)=(-∞;+∞)

2) Нули функции - решаем квадратное уравнение.

D = b² - 4*a*c = -4² - 4*(-1)*(1) = 20 - дискриминант. √D = 2√5.

Вычисляем корни уравнения.

x₁ = (-b+√D)/(2*a) = (4+2√5)/(2*(-1)) =  = -(2+2√5) - первый корень  (-4,24)

x₂ = (-b-√D)/(2*a) = (4- 2√5)/(2*(-1)) = (-2 +2√5 - второй корень  (0,24)

Пересечение с осью ОХ: нули функции: -4,24 и 0,24 - корни уравнения.

Пересечение с осью ОУ: f(0) = 1.

Интервалы знакопостоянства.

Положительна:  между нулями -  х=(-4,24;0,24)

Отрицательна: вне нулей.  х=(-∞;-4,28)∪(0,24;+∞)

Поиск экстремума по первой производной.

f'(x) = -2*x - 4 = 0

x = 0 - точка максимума.

Локальный экстремум -  максимум -  Fmax(-2) = 5

Возрастает: х=(-∞;-2),  убывает: х=(-2;+∞)

Answer 2

К сожалению, у меня нет доступа к результатам задания 1б, поэтому я не могу использовать их напрямую для построения графика функции f(x) = -x² - 4x + 1. Однако я могу объяснить, как построить график и ответить на ваши последующие вопросы.

Для построения графика функции f(x) = -x² - 4x + 1 нам нужно следовать нескольким шагам:

Шаг 1: Найдите вершину параболы (минимум или максимум функции). Для этого воспользуйтесь формулой x = -b / (2a), где уравнение функции имеет вид ax² + bx + c = 0. В нашем случае a = -1, b = -4, c = 1.

x = -(-4) / (2 * -1) = 4 / -2 = -2

Шаг 2: Найдите соответствующее значение функции f(x) в точке x = -2:

f(-2) = -(-2)² - 4 * (-2) + 1 f(-2) = -4 + 8 + 1 f(-2) = 5

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, 5).

Шаг 3: Найдите и постройте точки пересечения функции с осью x (нули функции). Для этого решите уравнение -x² - 4x + 1 = 0.

Мы можем попробовать факторизацию: -x² - 4x + 1 = -(x² + 4x - 1) = 0

Теперь мы видим, что это уравнение не факторизуется дальше. Поэтому воспользуемся квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = -1, b = -4, c = 1.

x = (4 ± √(4² - 4 * (-1) * 1)) / 2 * (-1) x = (4 ± √(16 + 4)) / -2 x = (4 ± √20) / -2 x = (4 ± 2√5) / -2

Таким образом, у нас два значения для x:

x₁ = (4 + 2√5) / -2 ≈ -3.79 x₂ = (4 - 2√5) / -2 ≈ 1.79

Теперь у нас есть две точки пересечения с осью x: (-3.79, 0) и (1.79, 0).

Шаг 4: Постройте график функции, используя вершину параболы и точки пересечения с осью x.

Для удобства построения графика, я предположу, что вы имели в виду функцию f(x) = -x² - 4x + 1.

На графике убедитесь, что:

• Функция проходит через точку (-2, 5), которая является вершиной параболы.
• Функция пересекает ось x в точках (-3.79, 0) и (1.79, 0).

Теперь давайте ответим на ваш последующий вопрос:

а) Нули функции: x₁ ≈ -3.79 и x₂ ≈ 1.79.

b) Промежутки возрастания и убывания функции:

• Функция возрастает на интервалах между отрицательными бесконечностью и первым нулем x₁ ≈ -3.79.
• Функция убывает на интервале между первым и вторым нулем x₁ ≈ -3.79 и x₂ ≈ 1.79.
• Функция возрастает на интервале между вторым нулем x₂ ≈ 1.79 и положительной бесконечностью.

Наибольшее значение функции: Максимальное значение функции равно значению вершины параболы, которое мы нашли на предыдущем шаге: f(-2) = 5.

Пожалуйста, обратите внимание, что данные ответы базируются на предположении, что функция f(x) = -x² - 4x + 1. Если у вас есть точные значения или другая функция, пожалуйста, уточните, и я с радостью помогу вам более точно.