Question

Корни уравнения 3x²+2x+k=0 равны a и c. Найдите коэффициент k такой, чтобы 1) a-c=6 2) 3a-c=4 3) a²+c²=34 4) a:c=-2:5Помогите, пожалуйста. ​

Answer 1

согласно теореме Виета

$a + c = - \frac{2}{3} \\ ac = \frac{k}{3}$

1) сложим первое уравнение и равенство a-c=6, и найдем a:

$a + c + a - c = - \frac{2}{3} + 6 \\ 2a = \frac{16}{3} \\ a = \frac{8}{3}$

из произведения корней выразим c через k

$\frac{8}{3} c = \frac{k}{3} \\ c = \frac{k}{8}$

подставим c и k в равенство суммы корней

$\frac{8}{3} + \frac{k}{8} = - \frac{2}{3} \\ \frac{k}{8} = - \frac{10}{3} \\ k = - \frac{80}{3}$

2) сложим сумму корней с равенством 3a-c=4

$4a = - \frac{2}{3} + 4 \\ a = \frac{5}{6}$

выразим c через k

$\frac{5}{6} c = \frac{k}{3} \\ c = \frac{2k}{5}$

отсюда подставим в сумму корней

$\frac{5}{6} + \frac{2k}{5} = - \frac{2}{3} \\ \frac{2k}{5} = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2} \\ k = - \frac{15}{4}$

3) возведем сумму корней уравнения в квадрат

${(a + c)}^{2} = {( - \frac{2}{3} )}^{2} \\ {a}^{2} + 2ac + {b}^{2} = \frac{4}{9}$

подставим заданное

${a}^{2} + {b}^{2} = 34$

получим

$34 + 2ac = \frac{4}{9} \\ ac = \frac{2}{9} - 17 = - \frac{151}{9}$

это и есть произведение корней:

$\frac{k}{3} = - \frac{151}{9} \\ k = - \frac{151}{3}$

4) как в предыдущем пункте возведем в квадрат сумму корней и разделим обе части равенства на ac:

$\frac{a}{c} + 2 + \frac{c}{a} = \frac{4}{9} \frac{1}{ac}$

подставляем заданное отношение корней

$\frac{a}{c} = - \frac{2}{5}$

и исходное произведение корней

$- \frac{2}{5} + 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{9} \frac{3}{k} \\ - \frac{9}{10} = \frac{4}{3k} \\ k = - \frac{40}{27}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1. У нас дано, что корни уравнения равны a и c, и a-c=6. Так как у нас уравнение вида 3x²+2x+k=0, то сумма корней равна -b/a. В данном случае, сумма корней равна -2/3. Таким образом, у нас два уравнения: a + c = -2/3 (сумма корней) a - c = 6

Добавим эти уравнения, чтобы избавиться от c: a + c + a - c = -2/3 + 6 2a = 18 - 2/3 2a = 18 2/3

Теперь найдем значение a: a = (18 2/3) / 2 a = 18 2/3 * 1/2 a = 18 + 1/3 a = 18.33

Теперь найдем значение c, используя уравнение a - c = 6: 18.33 - c = 6 c = 18.33 - 6 c = 12.33

2. У нас дано, что 3a - c = 4. Мы уже нашли значения a и c: 3 * 18.33 - 12.33 = 54.99 - 12.33 = 42.66

3. У нас дано, что a² + c² = 34. Мы уже знаем значения a и c: 18.33² + 12.33² = 335.9889 + 152.0089 = 487.9978

4. У нас дано, что a/c = -2/5. Мы уже знаем значения a и c: 18.33 / 12.33 = -2/5

Теперь найдем коэффициент k. Для этого подставим значения a и c в уравнение и решим его:

3x² + 2x + k = 0

Подставим a и c: 3(18.33)² + 2(18.33) + k = 0 3 * 335.9889 + 36.66 + k = 0 1007.9667 + 36.66 + k = 0 k = -1007.9667 - 36.66 k = -1044.6267

Итак, коэффициент k равен -1044.6267.