Question

Допоможіть будь ласка це терміново. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями.у=,та у=дріб зверху х і знизу 2. Поясніть будь ласка детально.

Answer 1

$y=\sqrt{x}\; \; ,\; \; y=\frac{x}{2}\\\\\sqrt{x}=\frac{x}{2}\; \; ,\; \; 2\sqrt{x}=x\; ,\; \; \sqrt{x}(\sqrt{x}-2)=0\; \; ,\; \; x_1=0\; ,\; \; x_2=4\\\\\int\limits^4_0\, (\sqrt{x}-\frac{x}{2})\, dx=(\frac{2x^{3/2}}{3}-\frac{x^2}{4})\Big |_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8-4=\frac{4}{3}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої лініями у = і у = (х/2), ми можемо скористатися методом інтегрування.

Спочатку давайте знайдемо точки перетину цих двох ліній. Підставляючи y = (х/2) у рівняння y = , отримуємо: (х/2) = Розкривши дужки і перенісши всі члени в одну сторону, отримуємо квадратне рівняння: х^2 - 2х = 0

Факторизуємо це рівняння, отримуємо: х(х - 2) = 0

Таким чином, ми маємо дві точки перетину: х = 0 та х = 2.

Тепер, щоб знайти площу фігури, нам потрібно інтегрувати функцію y = (х/2) від x = 0 до x = 2. Формула для обчислення площі під кривою за допомогою інтегралу виглядає так:

Площа = ∫ (верхня межа, нижня межа) y dx

У нашому випадку верхня межа y = , а нижня межа y = (х/2). Замінюючи ці значення у формулі, отримуємо:

Площа = ∫ ( , (х/2)) dx

Зараз ми можемо обчислити цей інтеграл. Інтегрування функції (х/2) дає нам (х^2)/4. Тому наш інтеграл стає:

Площа = ∫ ( , (х/2)) dx = ∫ ( , (х^2)/4) dx

Тепер застосуємо правило інтегрування:

Площа = [х^3/3 * 1/4] |_ |х=0 х=2

Підставимо верхню та нижню межі:

Площа = [(2^3/3 * 1/4) - (0^3/3 * 1/4)]

Спростимо це вираз:

Площа = [(8/3 * 1/4) - (0/3 * 1/4)]

Площа = (8/12) - (0/12)

Площа = 8/12

Площа = 2/3

Отже, площа фігури, обмеженої лініями у = і у = (х/2), дорівнює 2/3.