Question

Найдите три числа, являющиеся первыми тремя членами геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна 52, а квадрат второго члена равен 100. ДАЮ 10 БАЛЛОВ.

Answer 1

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель (отношение между членами) равен r. Тогда второй член равен ar, а третий член равен ar^2.

У нас есть два уравнения:

1. a + ar^2 = 52 (сумма первого и третьего членов равна 52)
2. (ar)^2 = 100 (квадрат второго члена равен 100)

Решим второе уравнение для нахождения значения ar:

(ar)^2 = 100 a^2r^2 = 100 ar = ±√100 ar = ±10

Теперь рассмотрим два случая:

1. ar = 10:

Подставим это значение в первое уравнение:

a + ar^2 = 52 a + 10r^2 = 52

Заметим, что третий член должен быть больше первого, поэтому r > 1. Попробуем значения r, начиная с 2:

При r = 2: a + 10(2^2) = 52 a + 40 = 52 a = 12

Получаем первые три члена геометрической прогрессии: 12, 20, 40.

2. ar = -10:

Подставим это значение в первое уравнение:

a + ar^2 = 52 a + (-10)r^2 = 52 a - 10r^2 = 52

Заметим, что третий член должен быть меньше первого, поэтому r < 1. Попробуем значения r, начиная с 0.5:

При r = 0.5: a - 10(0.5^2) = 52 a - 10(0.25) = 52 a - 2.5 = 52 a = 54.5

Получаем первые три члена геометрической прогрессии: 54.5, -27.25, 13.625.

Итак, мы нашли две геометрические прогрессии с данными условиями:

1. 12, 20, 40
2. 54.5, -27.25, 13.625