Question

∛(2+√5) + ∛(2-√5) обчислити

Answer 1

Пусть $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a;~~ \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b$. Возведя обе части равенства до куба, получаем $2+\sqrt{5}=a^3;~ 2-\sqrt{5}=b^3$ - сложив эти последние два равенства, имеем

$a^3+b^3=4\\ \\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=4\\ \\ (a+b)^3-3ab(a+b)=4$

Подсчитав $ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})\cdot (2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=-1$, получаем

$(a+b)^3+3(a+b)=4$

Выполним замену $a+b=t$, получаем $t^3+3t=4$. Далее это уравнение можно решить проще простого графическим способом. Функция стоящая в левой части уравнения $f(t)=t^3+3t$ является возрастающей, как сумма двух возрастающих функций и эта функция с прямой f(t) = 4 имеет одно пересечение. Путём подбора находим корень t = 1, следовательно, a + b = 1 а это ничто иное как $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$

Ответ: 1.

Есть и другой способ решения:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(0.5+0.5\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(0.5-0.5\sqrt{5})^3}=\\ \\ \\ =0.5+0.5\sqrt{5}+0.5-0.5\sqrt{5}=1$

Answer 2

Щоб обчислити вираз ∛(2+√5) + ∛(2-√5), ми можемо скористатися формулою для суми кубічних коренів двох чисел.

Запишемо ∛(2+√5) як a і ∛(2-√5) як b. Тоді ми маємо:

a + b = (∛(2+√5) + ∛(2-√5))

Застосуємо формулу суми кубічних коренів двох чисел:

a + b = (-1) * (∛(2+√5) * ∛(2-√5))

Тепер ми можемо обчислити значення ∛(2+√5) та ∛(2-√5) окремо.

Для ∛(2+√5), ми помітимо, що (2+√5) є сумою двох чисел: 2 та √5. Отже:

∛(2+√5) = ∛(2 + √(5)) = ∛(2 + √(4 * 1.25)) = ∛(2 + 2√1.25)

Тепер, ми можемо записати ∛(2+√5) у вигляді ∛(a + b√c), де a = 2, b = 2, та c = 1.25:

∛(2+√5) = ∛(2 + 2√1.25) = p + q√1.25

Де p і q - це відповідні значення для суми кубічних коренів.

Аналогічно, ми можемо записати ∛(2-√5) у вигляді ∛(a - b√c):

∛(2-√5) = ∛(2 - √5) = p - q√1.25

Тепер, ми можемо обчислити значення p та q для обох виразів.

Для ∛(2+√5):

a = 2 b = 2 c = 1.25

Тоді: p = ∛(a + √(a² - 4b³/c²³)) = ∛(2 + √(4 - 32/1.25³)) = ∛(2 + √(4 - 32/1.953125)) = ∛(2 + √(4 - 16.34146)) ≈ ∛(2 + √(-12.34146))

На жаль, √(-12.34146) не є реальним числом, оскільки воно від'ємне. Отже, ми не можемо обчислити значення ∛(2+√5) точно.

Аналогічно для ∛(2-√5), ми також не зможемо отримати точне значення через від'ємний корінь √(-12.34146).

Отже, не залежно від розрахунків, ∛(2+√5) + ∛(2-√5) не можна обчислити точно з даними значеннями.