Question

Решить систему методом Гаусса x+3y+2z=37 2x+y+z=22 3x+2y+2z=42

Answer 1

Ответ:

1) x+3y+2z=37  ×(-2/1) ×(-3/1)    2) x+3y+2z=37                                    

  2x+y+z=22                               (-2x)-6y-4z+2x+y+z=(-74)+22  

  3x+2y+2z=42                            (-3x)-9y-6z+3x+2y+2z=-(111)+42    

3) x+3y+2z=37                             4) x+3y+2z=37

     (-5y)-3z=(-52) *(-1.4)                     (-5y)-3z=(-52)

     (-7y)-4z=(-69)                               (-7y)-4z+7y+4.2z=72,8-89

5) x+3y+2z=37                                  6)z=19

     (-5y)-3z=(-52)                                  (-5y)-3*19=52⇒ (-5y)=109⇒y=(-21.8)

          0.2z=3.8                                      x+3*(-21.8)+2*19=37⇒x=64.4

Объяснение: чтобы избавиться от корней мы прибавляем первое уравнение ко второму и  третьему изначально использовав отношение первого неизвестного второго уравнения на первое с отрицательным знаком. Немудрено понять что в итоге 2/1 это два только с противоположным знаком. Перемножаем и прибавляем ко второму. Так же нужно поступить с третьим уравнением взяв отношение 3 к 1 с противоположным знаком соответственно.

Избавляемся в обоих уравнениях от первого неизвестного, следующим шагом берем отношение второго неизвестного второго уравнения и второго неизвестного третьего и получаем -7/-5 c противоположным знаком. Избавляемся от второго неизвестного и получаем обыкновенное уравнение

Следующие действия совершаются методом подстановки и решением простейшего уравнения.

                     

Answer 2

Чтобы решить данную систему уравнений методом Гаусса, мы можем использовать элементарные преобразования строк для приведения системы к треугольному виду (или к ступенчатому виду). Затем мы сможем выразить значения переменных последовательно.

Итак, давайте начнем:

Перепишем систему уравнений:

x + 3y + 2z = 37 ---(1) 2x + y + z = 22 ---(2) 3x + 2y + 2z = 42 ---(3)

1. Исключим переменную x из уравнений (2) и (3):

Умножим уравнение (1) на 2 и вычтем его из уравнения (2): 2(2x + y + z) - (x + 3y + 2z) = 2(22) - 37 4x + 2y + 2z - x - 3y - 2z = 44 - 37 3x - y = 7 ---(4)

Умножим уравнение (1) на 3 и вычтем его из уравнения (3): 3(2x + y + z) - (x + 3y + 2z) = 3(22) - 37 6x + 3y + 3z - x - 3y - 2z = 66 - 37 5x + z = 29 ---(5)

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

3x - y = 7 ---(4) 5x + z = 29 ---(5) x + 3y + 2z = 37 ---(1)

2. Исключим переменную x из уравнений (4) и (5):

Умножим уравнение (4) на 5 и уравнение (5) на 3: 15x - 5y = 35 ---(6) 15x + 3z = 87 ---(7)

Вычтем уравнение (6) из уравнения (7): (15x + 3z) - (15x - 5y) = 87 - 35 8y + 3z = 52 ---(8)

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

8y + 3z = 52 ---(8) 5x + z = 29 ---(5) x + 3y + 2z = 37 ---(1)

3. Исключим переменную z из уравнений (5) и (8):

Умножим уравнение (5) на 8 и уравнение (8) на 5: 40x + 8z = 232 ---(9) 40x + 15z = 260 ---(10)

Вычтем уравнение (9) из уравнения (10): (40x + 15z) - (40x + 8z) = 260 - 232 7z = 28 z = 4

4. Подставим значение z = 4 в уравнение (5):

5x + 4 = 29 5x = 29 - 4 5x = 25 x = 5

5. Подставим значения x = 5 и z = 4 в уравнение (1):

5 + 3y + 2(4) = 37 5 + 3y + 8 = 37 3y = 37 - 5 - 8 3y = 24 y = 8

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса: x = 5, y = 8, z = 4.