Question

Найдите наибольшее натуральное число, факториал которого не делится на 3^{2019}[/tex] ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!!!

Answer 1

Нужно найти такое натуральное n, факториал которого не делится на $3^{2019}$ и это возможно когда число 3 приходится в факториал n меньше чем 2019 раз.

$\displaystyle \sum^{m}_{k=1}\Bigg[\dfrac{n}{3^{k}}\Bigg]$

Для m = 7 имеется $n=4049$,т.е. $2018$ откуда n - максимальное значение, факториал которого не делится на $3^{2019}$

Ответ: 4049.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств факториала и связей с простыми числами. Факториал числа n обозначается как n! и равен произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Так как нам нужно найти наибольшее натуральное число, факториал которого не делится на 3^{2019}, то мы можем использовать следующую стратегию:

1. Найдем наибольшее число k, для которого 3^k меньше или равно 2019. В данном случае, 3^6 = 729, 3^7 = 2187, поэтому k = 6.

2. Проверим каждое число от (3^k + 1) до (3^(k + 1) - 1) на делимость на 3^{2019}.

Начнем с числа (3^k + 1), то есть с 730. Проверим, делится ли 730! на 3^{2019}:

730! = 1 * 2 * 3 * ... * 729 * 730

При разложении каждого множителя на простые сомножители, мы заметим, что каждое число, делящееся на 3, даст множитель 3 в разложении.

Таким образом, нам нужно найти количество чисел, делящихся на 3, среди чисел от 1 до 730. Для этого мы можем использовать формулу:

количество чисел, делящихся на 3 = [730/3] + [730/3^2] + [730/3^3] + ... + [730/3^k]

где [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Применяя эту формулу, мы получаем:

количество чисел, делящихся на 3 = [730/3] + [730/3^2] + [730/3^3] + ... + [730/3^6]

= 243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1

= 364

Таким образом, 364 числа из чисел от 1 до 730 делятся на 3. Остается 730 - 364 = 366 чисел, которые не делятся на 3.

Теперь мы можем проверить делится ли 730! на 3^{2019}:

3^{2019} = 3^{6 * 336 + 3}

Так как у нас осталось 366 чисел, которые не делятся на 3, то все они будут давать множитель 3 в разложении факториала. Это значит, что факториал 730 не делится на 3^{2019}.

Следовательно, наибольшее натуральное число, факториал которого не делится на 3^{2019}, это 730.

Надеюсь, что это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.