Question

Используйте вынесение множителя из-под знака корня для доказательства следующих тождеств: а) корень45-1-3корень5=-1; б) 4корень3+5-корень48=5; в) корень500+3-10корень5=3:​.​

Answer 1

$\sqrt{45}-1-3\sqrt{5}=-1\\\sqrt{9*5}-1-3\sqrt{5}=-1\\3\sqrt{5}-1-3\sqrt{5}=-1\\-1=-1\\\\4\sqrt{3}+5-\sqrt{48}=5\\4\sqrt{3}+5-\sqrt{16*3}=5\\4\sqrt{3}+5-4\sqrt{3}=5\\5=5\\\\\sqrt{500}+3-10\sqrt{5}=3\\\sqrt{100*5}+3-10\sqrt{5}=3\\10\sqrt{5}+3-10\sqrt{5}=5\\5=5$

Answer 2

а) Докажем, что √45 - √1 - 3√5 = -1.

Используем правило вынесения множителя из-под знака корня: √(a * b) = √a * √b

√45 - √1 - 3√5 = √(9 * 5) - √1 - 3√5 = √9 * √5 - √1 - 3√5 = 3√5 - √1 - 3√5

Заметим, что 3√5 и -3√5 взаимно уничтожаются, оставляя только -√1: 3√5 - √1 - 3√5 = -√1

Таким образом, доказано, что √45 - √1 - 3√5 = -1.

б) Докажем, что 4√3 + 5 - √48 = 5.

√48 = √(16 * 3) = √16 * √3 = 4√3

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение: 4√3 + 5 - √48 = 4√3 + 5 - 4√3

Заметим, что 4√3 и -4√3 взаимно уничтожаются, оставляя только 5: 4√3 + 5 - 4√3 = 5

Таким образом, доказано, что 4√3 + 5 - √48 = 5.

в) Докажем, что √500 + 3 - 10√5 = 3.

√500 = √(100 * 5) = √100 * √5 = 10√5

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение: 10√5 + 3 - 10√5 = 3

Таким образом, доказано, что √500 + 3 - 10√5 = 3.