Question

Разложите на множители выражение: x⁸+9x⁴+25

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

$x^8+9x^4+25=(x^4+5)^2-(x^2)^2=(x^4+5-x^2)(x^4+5+x^2)=$

$\left((x^2+\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5}+1)x^2\right)\left((x^2+\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5}-1)x^2\right)=$

$=\left(x^2+\sqrt{5}-\sqrt{2\sqrt{5}+1}x\right)\cdot\left(x^2+\sqrt{5}+\sqrt{2\sqrt{5}+1}x\right)\cdot$

$\cdot\left(x^2+\sqrt{5}-\sqrt{2\sqrt{5}-1}x\right)\cdot\left(x^2+\sqrt{5}+\sqrt{2\sqrt{5}-1}x\right)$

Answer 3

Для разложения выражения $x^8 + 9x^4 + 25$ на множители можно воспользоваться методом подстановки.

Попробуем представить это выражение в виде квадрата некоторого двучлена:

$(ax^4 + b)^2 = a^2x^8 + 2abx^4 + b^2$.

Мы хотим, чтобы $a^2x^8 + 2abx^4 = x^8 + 9x^4$. Для этого, $a^2 = 1$ и $2ab = 9$.

Из уравнения $a^2 = 1$ следует, что $a = \pm 1$.

Из уравнения $2ab = 9$ следует, что $b = \frac{9}{2a}$.

Теперь, найдем $b$:

Для $a = 1$: $b = \frac{9}{2 \times 1} = \frac{9}{2}$.

Для $a = -1$: $b = \frac{9}{2 \times (-1)} = -\frac{9}{2}$.

Таким образом, мы получаем два двучлена, которые являются множителями исходного выражения:

$x^8 + 9x^4 + 25 = (x^4 + \frac{9}{2})^2$ или $x^8 + 9x^4 + 25 = (x^4 - \frac{9}{2})^2$.

Таким образом, исходное выражение разлагается на множители следующим образом:

$x^8 + 9x^4 + 25 = (x^4 + \frac{9}{2})^2$ или $x^8 + 9x^4 + 25 = (x^4 - \frac{9}{2})^2$.