Question

Найти первообразную от функции у=х^3-4√х, график которой проходит через точку А (4;3)

Answer 1

$f(x)=x^3-4\sqrt x=x^2-4x^{\frac{1}{2}}$

$F(x)=\frac{x^{3+1}}{3+1}-4\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=$

$\frac{x^{4}}{4}-4\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=$

$\frac{x^{4}}{4}-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$

проходит через точку А (4;3)

$F(4)=3$

$\frac{4^{4}}{4}-\frac{8\cdot4^{\frac{3}{2}}}{3}+C=3$

$4^3-\frac{8\cdot(2^2)^{\frac{3}{2}}}{3}+C=3$

$64-\frac{8\cdot2^3}{3}+C=3$

$64-\frac{8\cdot8}{3}+C=3$

$64-\frac{64}{3}+C=3$

$C=3-64+\frac{64}{3}$

$C=-61+\frac{64}{3}$

$C=-\frac{183}{3}+\frac{64}{3}$

$C=-\frac{119}{3}$

$F(x)=\frac{x^{4}}{4}-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{119}{3}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $y = x^3 - 4\sqrt{x}$, мы должны проинтегрировать ее относительно переменной $x$. Первообразная (или интеграл) будет содержать произвольную постоянную $C$ в результате интегрирования. Затем, используя информацию о прохождении графика через точку $A(4, 3)$, мы найдем значение $C$.

Итак, начнем с интегрирования функции $y = x^3 - 4\sqrt{x}$:

$\int (x^3 - 4\sqrt{x}) dx$

Чтобы проинтегрировать $x^3$, мы используем формулу для интеграла степени $n$:

$\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{n+1} + C$

$\int x^3 dx = \frac{{x^{3+1}}}{3+1} + C_1 = \frac{{x^4}}{4} + C_1$

Теперь проинтегрируем $-4\sqrt{x}$:

$\int -4\sqrt{x} dx = -4 \int \sqrt{x} dx$

Для интеграла $\int \sqrt{x} dx$ мы можем использовать следующую формулу:

$\int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C_2$

Теперь объединим два интеграла:

$\int (x^3 - 4\sqrt{x}) dx = \frac{x^4}{4} - 4 \left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) + C$

$\int (x^3 - 4\sqrt{x}) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{8}{3}x^{3/2} + C$

Теперь наша первообразная функции выглядит так: $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{8}{3}x^{3/2} + C$.

Используем информацию о точке $A(4, 3)$ для определения $C$:

$F(4) = \frac{4^4}{4} - \frac{8}{3} \cdot 4^{3/2} + C = 3$

$64 - \frac{8}{3} \cdot 8 + C = 3$

$64 - \frac{64}{3} + C = 3$

$\frac{192}{3} - \frac{64}{3} + C = 3$