Question

Найти точки экстремумы и значения функции в этих точках y=(2-x) ^3/(3-x)^2

Answer 1

Ответ:

x=2

...................

Answer 2

Для нахождения точек экстремума и их значений для функции $y = \frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по переменной $x$.
2. Решите уравнение $\frac{{dy}}{{dx}} = 0$ для нахождения критических точек.
3. Исследуйте знак производной в окрестности каждой критической точки, чтобы определить тип экстремума.
4. Вычислите значение функции в каждой найденной точке экстремума.

Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = \frac{(2-x)^3}{(3-x)^2}$

Применим правило дифференцирования частного и цепное правило:

$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{(2-x)^3}{(3-x)^2} \right) = \frac{(3-x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2-x)^3 - (2-x)^3 \cdot \frac{d}{dx}(3-x)^2}{(3-x)^4}$

2. Вычислим производные $\frac{d}{dx}(2-x)^3$ и $\frac{d}{dx}(3-x)^2$:

$\frac{d}{dx}(2-x)^3 = -3(2-x)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2-x) = -3(2-x)^2 \cdot (-1) = 3(2-x)^2$

$\frac{d}{dx}(3-x)^2 = -2(3-x) \cdot \frac{d}{dx}(3-x) = -2(3-x) \cdot (-1) = 2(3-x)$

Теперь заменим найденные значения в выражении для $y'$:

$y' = \frac{(3-x)^2 \cdot 3(2-x)^2 - (2-x)^3 \cdot 2(3-x)}{(3-x)^4} = \frac{3(2-x)^2(3-x)^2 - 2(2-x)^3(3-x)}{(3-x)^4}$

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$y' = 0 \implies \frac{3(2-x)^2(3-x)^2 - 2(2-x)^3(3-x)}{(3-x)^4} = 0$

$3(2-x)^2(3-x)^2 - 2(2-x)^3(3-x) = 0$

Это уравнение сложно решить в общем виде, но мы можем найти некоторые критические точки численно или приближенно с помощью программ или калькуляторов.

4. Вычислим значение функции $y$