Question

Решите неравенство: а) x(x-3)<-2;б) 2(z²+5)>9z;в) x(2-x)≥4.

Answer 1

a)

x(x-3)<-2

x²-3x+2<0

По т. Виета

x₁=1     x₂=2

Так как a=1>0, то ветви параболы направлены вверх, значит x∈(1;2).

Ответ: x∈(1;2).

б)

2(z²+5)>9z

2z²-9z+10>0

D=b²-4ac=81-80=1

x₁=(9+√1)/2a=10/4=2,5

x₂=(9-√1)/2a=2

Так как a=2>0, то ветви параболы направлены вверх, значит x∈(-∞; 2)∪(2.5; +∞).

Ответ: x∈(-∞; 2)∪(2.5; +∞).

в)

x(2-x)≥4

2x-x²-4≥0

x²-2x+4≤0

D=b²-4ac=4-16=-12

Так D<0, то корней нет

Ответ: ∅

Answer 2

Решение задания приложено

Answer 3

а) Решим неравенство x(x-3) < -2:

x^2 - 3x < -2

x^2 - 3x + 2 < 0

(x - 1)(x - 2) < 0

Для решения этого неравенства нужно определить знак выражения (x - 1)(x - 2) для различных значений x. Можем построить таблицу знаков:

x | (x - 1) | (x - 2) | (x - 1)(x - 2)

x < 1 | - | - | + 1 < x < 2 | + | - | - x > 2 | + | + | +

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при 1 < x < 2.

Ответ: 1 < x < 2.

б) Решим неравенство 2(z² + 5) > 9z:

2z² + 10 > 9z

2z² - 9z + 10 > 0

(z - 2)(2z - 5) > 0

Аналогично предыдущему примеру, построим таблицу знаков:

z | (z - 2) | (2z - 5) | (z - 2)(2z - 5)

z < 2 | - | - | + 2 < z < 5/2 | - | + | - z > 5/2 | + | + | +

Из таблицы знаков видно, что неравенство выполняется при z < 2 или z > 5/2.

Ответ: z < 2 или z > 5/2.

в) Решим неравенство x(2 - x) ≥ 4:

2x - x² ≥ 4

x² - 2x + 4 ≤ 0

Для решения этого неравенства можно воспользоваться дискриминантом квадратного трехчлена. Дискриминант D = b² - 4ac:

D = (-2)² - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12

Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, и значит, его график не пересекает ось Ox. Это означает, что уравнение x² - 2x + 4 ≤ 0 не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений в действительных числах.