Question

Найти целые решения системы неравенств {2x2-3x-5<0 {x2-4≤0 Смотреть ответ VitalikMaksymchuk VitalikMaksymchuk Объяснение: ......................

Answer 1

Давайте решим систему неравенств по очереди.

Первое неравенство: 2x^2 - 3x - 5 < 0

Можем решить это неравенство, используя метод интервалов. Начнем с нахождения корней квадратного уравнения 2x^2 - 3x - 5 = 0.

Применим формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac Для данного уравнения a = 2, b = -3, c = -5. D = (-3)^2 - 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49.

Так как дискриминант D положителен, у нас есть два различных вещественных корня. Используем формулу корней: x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (-(-3) + √49) / (2 * 2) = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 5 / 2 = 2.5 x2 = (-(-3) - √49) / (2 * 2) = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1

Теперь построим интервалы на числовой оси с использованием найденных корней и проверим знак неравенства в каждом интервале:

(-∞, -1): Выбираем точку внутри интервала, например, x = -2. Подставляем в неравенство: 2(-2)^2 - 3(-2) - 5 = 2 * 4 + 6 - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 > 0. Знак неравенства меняется.

(-1, 2.5): Выбираем точку внутри интервала, например, x = 0. Подставляем в неравенство: 2(0)^2 - 3(0) - 5 = 0 - 0 - 5 = -5 < 0. Неравенство выполняется.

(2.5, +∞): Выбираем точку внутри интервала, например, x = 3. Подставляем в неравенство: 2(3)^2 - 3(3) - 5 = 2 * 9 - 9 - 5 = 18 - 9 - 5 = 4 > 0. Знак неравенства меняется.

Таким образом, неравенство 2x^2 - 3x - 5 < 0 выполняется в интервале (-1, 2.5).

Теперь рассмотрим второе неравенство: x^2 - 4 ≤ 0

Это неравенство представляет собой квадратное уравнение x^2 - 4 = 0, которое можно факторизовать как (x - 2)(x + 2) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = -2 и x2 = 2.

Построим интервалы на числовой оси, используя найденные корни, и проверим знак неравенства в каждом интервале:

(-∞, -2): Выбираем точку внутри интервала, например, x = -3. Подставляем в неравенство: (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0. Знак неравенства меняется.

(-2, 2): Выбираем точку внутри интервала, например, x = 0. Подставляем в неравенство: (0)^2 - 4 = -4 < 0. Неравенство выполняется.

(2, +∞): Выбираем точку внутри интервала, например, x = 3. Подставляем в неравенство: (3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0. Знак неравенства меняется.

Таким образом, неравенство x^2 - 4 ≤ 0 выполняется в интервале (-2, 2).

Итак, целые решения системы неравенств {2x^2 - 3x - 5 < 0, x^2 - 4 ≤ 0} это все целые числа, удовлетворяющие обоим неравенствам, в интервале (-1, 2), то есть {-1, 0, 1}.