Question

Составьте квадратное уравнение, каждый корень которого в 7 раз больше соответствующего корня уравнения 4x^2-15x+2=0​

Answer 1

Обозначим корни исходного уравнения как $x_1$ и $x_2$, а корни нового как $\widetilde{x_1}$ и $\widetilde{x_2}$. По теореме Виета $x_1+x_2=\dfrac{15}{4}$ и $x_1x_2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$. Тогда получим:

$\widetilde{x_1}+\widetilde{x_2}=7x_1+7x_2=7(x_1+x_2)=7 \cdot \dfrac{15}{4}=\dfrac{105}{4}\\\widetilde{x_1} \cdot \widetilde{x_2} =7x_1 \cdot 7x_2=49 \cdot x_1x_2=\dfrac{49}{2}$

Теперь можем составить уравнение по коэффициентам, пользуясь обратной теоремой Виета:

$x^2-\dfrac{105}{4}x+\dfrac{49}{2}=0\\4x^2-105x+98=0$

Answer 2

Для начала давайте найдем корни уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0:

Используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, мы можем применить формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В данном случае: a = 4, b = -15, c = 2.

Теперь вычислим дискриминант: D = (-15)^2 - 4 * 4 * 2 = 225 - 32 = 193.

Далее, найдем корни уравнения: x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-15) + √193) / (2 * 4) = (15 + √193) / 8, x2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-15) - √193) / (2 * 4) = (15 - √193) / 8.

Теперь составим квадратное уравнение, в котором каждый корень в 7 раз больше соответствующего корня уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0.

Пусть новое уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0.

Тогда: x1 * 7 = (15 + √193) / 8 * 7 = (15 + √193) / 8 * 7, x2 * 7 = (15 - √193) / 8 * 7 = (15 - √193) / 8 * 7.

Теперь сравним коэффициенты полученного уравнения с оригинальным уравнением.

Коэффициенты оригинального уравнения: a = 4, b = -15, c = 2.

Коэффициенты нового уравнения: a = 49a, b = 7b, c = 49c.

Таким образом, квадратное уравнение, в котором каждый корень в 7 раз больше соответствующего корня уравнения 4x^2 - 15x + 2 = 0, имеет вид:

49ax^2 + 7bx + 49c = 0.

Заменяя a, b и c на значения из оригинального уравнения, мы получаем окончательный ответ:

49 * 4 * x^2 + 7 * (-15) * x + 49 * 2 = 0, 196x^2 - 105x + 98 = 0.