Question

Найдите сумму биномиальных коэффициентов в разложение бинома (4x-3)^3

Answer 1

биноминальные коэффициенты

Cₐᵇ = a!/(b!(a - b)!)

a>=b

a=3

b=0, 1 , 2 ,3

0! = 1

1-й C₃⁰ = 3!/(0!*(3-0)!) = 1

2-й C₃¹ = 3!/(1!*(3-1)!) = 3

3-й C₃² = 3!/(2!*(3-2)!) = 3

4-й  C₃³ = 3!/(3!*(3-3)!) = 1

сумма 1 + 3 + 3 + 1 = 8

это разложение куба суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

если Вы хотите считать коэффициенты уравнения , то придется полностью возводить в куб и уже считать сумму

(4x - 3)³ = 1*(4x)³ + 3*(4x)²*(-3) + 3*(4x)*(-3)² + 1*(-3)³ = 64x³ - 144x² + 108x - 27 = сумма 1

Answer 2

Чтобы найти сумму биномиальных коэффициентов в разложении бинома (4x-3)^3, нам необходимо воспользоваться формулой бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:

(a + b)^n = C(n, 0)a^nb^0 + C(n, 1)*a^(n-1)*b^1 + C(n, 2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n, n-1)a^1b^(n-1) + C(n, n)a^0b^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!).

В данном случае, биномиальный коэффициент C(n, k) соответствует коэффициенту перед (4x)^k*(-3)^(n-k) в разложении (4x-3)^n.

Таким образом, в разложении (4x-3)^3 мы имеем:

C(3, 0)(4x)^3(-3)^0 + C(3, 1)(4x)^2(-3)^1 + C(3, 2)(4x)^1(-3)^2 + C(3, 3)(4x)^0(-3)^3.

Вычислим каждый биномиальный коэффициент и выпишем их вместе с соответствующими степенями:

C(3, 0) = 1 C(3, 1) = 3 C(3, 2) = 3 C(3, 3) = 1

Теперь подставим их в разложение:

1*(4x)^3*(-3)^0 + 3*(4x)^2*(-3)^1 + 3*(4x)^1*(-3)^2 + 1*(4x)^0*(-3)^3

Раскроем степени и упростим:

64x^3 + 316x^2(-3) + 34x(-3)^2 + (-3)^3

64x^3 - 144x^2 + 108x - 27

Таким образом, сумма биномиальных коэффициентов в разложении (4x-3)^3 равна -27.