Question

Доведіть, що значення виразу 81 в степені 5 -27 в степені 6 кратне 8.

Answer 1

$81^{5}-27^{6}=(3^{4})^{5}-(3^{3})^{6}=3^{20}-3^{18}=3^{18}(3^{2}-1)=3^{18}*8$

Если один из множителей кратен 8, то и всё произведение кратно 8 .

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу $81^5 - 27^6$ кратне 8, ми повинні показати, що це значення є дільником 8, тобто ділиться на 8 без залишку.

Спочатку розглянемо перший доданок $81^5$. Для спрощення обчислень, звернімося до кінцевих цифр числа 81. Зауважимо, що остання цифра числа 81 є 1, тому будь-яка степінь числа 81 завершується цифрою 1.

Тепер розглянемо другий доданок $(-27)^6$. Остання цифра числа -27 є 7, тому остання цифра будь-якої степені числа -27 буде 7, якщо степінь є парною, і -7, якщо степінь є непарною.

Зауважимо, що степінь 6 є парною, тому остання цифра $(-27)^6$ дорівнює 7.

Тепер обчислимо значення виразу $81^5 - 27^6$:

$81^5 = 9^5 \cdot 9^5 = (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9) \cdot (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9) = (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9) \cdot 81$

Отримаємо, що $81^5$ ділиться на 81 без залишку.

Таким чином, вираз $81^5 - 27^6$ можна записати як $81 \cdot k - 7$, де $k$ є цілим числом.

Якщо ми розглянемо вираз $81 \cdot k - 7$ модулю 8, то можемо спостерігати наступне:

$81 \cdot k - 7 \equiv 1 \cdot k - 7 \equiv k - 7 \mod 8$

Згідно з властивостями арифметики модулярності, якщо $k$ ділиться на 8 без залишку, то $k - 7$ також ділиться на 8 без залишку.

Отже, ми довели, що значення виразу $81^5 - 27^6$ кратне 8.