Question

Нерівність (x^2+2)/√(x^2+1)≥2

Answer 1

$></p> <p></p> <p><img src=$ 0 0

Answer 2

Для вирішення нерівності (x^2+2)/√(x^2+1) ≥ 2, спробуємо розглянути різні випадки:

Випадок 1: x < 0 Якщо x < 0, тоді x^2 + 1 > 0, і √(x^2 + 1) > 0. Помножимо обидві частини нерівності на √(x^2 + 1):

(x^2 + 2) ≥ 2√(x^2 + 1)

(x^2 + 2)^2 ≥ 4(x^2 + 1)

x^4 + 4x^2 + 4 ≥ 4x^2 + 4

x^4 ≥ 0

Ця нерівність виконується для будь-якого x < 0. Таким чином, усі x < 0 є розв'язками.

Випадок 2: x ≥ 0 Якщо x ≥ 0, то x^2 + 1 > 0, і √(x^2 + 1) > 0. Виразимо x^2 з нерівності:

√(x^2 + 1) ≥ (x^2 + 2) / 2

x^2 + 1 ≥ (x^2 + 2)^2 / 4

4x^2 + 4 ≥ (x^2 + 2)^2

4x^2 + 4 ≥ x^4 + 4x^2 + 4

0 ≥ x^4

Ця нерівність не має розв'язків для x ≥ 0.

Отже, розв'язками заданої нерівності є всі значення x < 0.