Question

При каком значении параметра a уравнение (a+4x-x^2-1)(a+1-|x-2|)=0 имеет три корня

Answer 1

Ответ:

При а = -1

Объяснение:

1) Сначала решим вторую скобку, она проще.

a + 1 - |x - 2| = 0

|x - 2| = a + 1

Если a + 1 > 0, то есть a > -1, тогда уравнение имеет 2 корня.

a) x1 - 2 = -a - 1; x1 = -a - 3

b) x2 - 2 = a + 1; x2 = a + 3

Если a + 1 = 0, то есть a = -1, тогда уравнение имеет 1 корень.

x = 2

Если a + 1 < 0, то есть a < -1, тогда уравнение корней не имеет.

2) Решим первую скобку, квадратное уравнение

-x^2 + 4x + a - 1 = 0

x^2 - 4x - a + 1 = 0

D = (-4)^2 - 4(-a + 1) = 16 + 4a - 4 = 12 + 4a = 4(a + 3)

Если D > 0, то есть a > -3, тогда уравнение имеет 2 корня.

x1 = (4 - √(4a+12)) / 2 = 2 - √(a+3)

x2 = (4 + √(4a+12)) / 2 = 2 + √(a+3)

Если D = 0, то есть a = -3, тогда уравнение имеет 1 корень.

x = 2

Если D < 0, то есть a < -3, тогда уравнение корней не имеет.

Таким образом, получается:

1) При a < -3 корней нет ни у 1, ни у 2 скобки.

2) При a = -3 есть только 1 корень у 1 скобки.

3) При a ∈ (-3; -1) есть 2 корня у 1 скобки и нет корней у 2 скобки.

4) При a = -1 есть 2 корня у 1 скобки и 1 корень у 2 скобки.

То есть всего 3 корня.

5) При a > -1 есть 2 корня у 1 скобки и 2 корня у 2 скобки.

То есть всего 4 корня.

Answer 2

Для уравнения иметь три корня, выражение под знаком "корня" должно быть равно нулю, так как у нас есть два линейных множителя, каждый из которых может равняться нулю и давать дополнительные корни. Таким образом, для того чтобы уравнение имело три корня, нужно, чтобы уравнение "a + 4x - x^2 - 1 = 0" и "a + 1 - |x - 2| = 0" имели хотя бы один общий корень.

1. Рассмотрим уравнение "a + 4x - x^2 - 1 = 0": Перепишем его в виде квадратного трёхчлена: x^2 - 4x + (1 - a) = 0. У квадратного трёхчлена есть три корня, если его дискриминант больше нуля: D = b^2 - 4ac > 0. В данном случае, a = 1 - a, b = -4, и c = (1 - a). Тогда D = (-4)^2 - 4 * 1 * (1 - a) = 16 - 4(1 - a) = 16 - 4 + 4a = 12 + 4a. Для того чтобы уравнение "a + 4x - x^2 - 1 = 0" имело три корня, необходимо, чтобы D > 0, то есть 12 + 4a > 0. Решим неравенство: 4a > -12, a > -3.

2. Рассмотрим уравнение "a + 1 - |x - 2| = 0": Разберем его на два случая: 2.1. Если x - 2 ≥ 0 (то есть x ≥ 2), то уравнение примет вид: a + 1 - (x - 2) = 0, или a - x + 3 = 0. Тогда x = a + 3. 2.2. Если x - 2 < 0 (то есть x < 2), то уравнение примет вид: a + 1 - (2 - x) = 0, или a + x - 1 = 0. Тогда x = 1 - a.

Таким образом, чтобы уравнение имело три корня, необходимо, чтобы уравнение "a + 4x - x^2 - 1 = 0" имело корни при a > -3, и при этом хотя бы одно из уравнений "x = a + 3" или "x = 1 - a" также имело корень.

Таким образом, чтобы уравнение имело три корня, значение параметра a должно быть больше -3, и при этом либо a + 3 должно быть корнем уравнения "a + 4x - x^2 - 1 = 0", либо 1 - a должно быть корнем этого уравнения.