Question

1)При каком значении параметра а уравнение |5х - 3| + 7 = а имеет один корень? 2)При каком значении параметра а уравнение |5х - 3| + 7 = а имеет один корень? 3)Решите уравнение: х(х+1)(х+2)(х+3)=5040. Сколько действительных корней имеет уравнение?

Answer 1

1) уравнения с модулями обычно имеют два и более решений, однако, если под модулем получается ноль, то подмодульное выражение имеет один корень

|5х - 3| + 7 = а

|5х - 3|=0 => а=7

2) уравнения с модулями обычно имеют два и более решений, однако, если под модулем получается ноль, то подмодульное выражение имеет один корень

|5х - 3| + 7 = а

|5х - 3|=0 => а=7

3) х(х+1)(х+2)(х+3)=5040

найдем один целый корень(если он существует)

разложим 5040 на простые множители: 

5040=2*2*2*2*3*3*5*7

наименьшее из четырех чисел - 7 (если увеличить 7 хотябы в два раза, то 14 будет больше 8,4 на 5,6, что больше трех)

следующее больше, т.к. 6 не входит в диапозон:

(т.к. 5040 - произведение четырех последовательных чисел, то можно найти приблизительно возле какого числа они находятся, если найти корень четвертой степени из 5040:

корень четвертой степени из 5040 = 8,4

значит чила находятся в диапозоне от 8,4-2=6,4 до 8,4+2=10,4)

этому диапозону соответствуют четыре числа 7,8,9,10 - все они подходят

так же подходят из противоположные числа т. е. -10,-9,-8,-7

значит 7, -10 - корни уравнения.

найдем остальные корни(если он существует):

раскроем в уравнении скобки и перенесем 5040 влево:

x^4+6x^3+11x^2+6x-5040=0

исходя из того, что мы нашли два корня то можно многчлены (х-7) и (х+10) входят в состав многочлена x^4+6x^3+11x^2+6x-5040.

найдем остальные многочлены:

(x^4+6x^3+11x^2+6x-5040)/((х-7)*(х+10))=(x^4+6x^3+11x^2+6x-5040)/(x^2+3x-70)=

x^2+3x+72 - данный многочлен не имеет корней, значит исходное уравнение имеет два корня: х1=7, х2=-10

ответ: х1=7, х2=-10

Answer 2

1) При каком значении параметра а уравнение |5х - 3| + 7 = а имеет один корень?

Для начала, рассмотрим уравнение |5х - 3| + 7 = а. Заметим, что выражение |5х - 3| означает модуль разности 5х и 3.

Для того чтобы уравнение имело один корень, необходимо и достаточно, чтобы модуль разности 5х и 3 был равен нулю. То есть, |5х - 3| = 0.

Модуль отличен от нуля только тогда, когда аргумент внутри модуля равен нулю. Таким образом, мы можем записать это в виде уравнения:

5х - 3 = 0.

Решаем это уравнение:

5х = 3,

х = 3/5.

Таким образом, когда параметр а равен 0, уравнение |5х - 3| + 7 = а имеет один корень, который равен 3/5.

2) При каком значении параметра а уравнение |5х - 3| + 7 = а имеет один корень?

Данное уравнение уже было рассмотрено в предыдущем вопросе. Ответом на этот вопрос является параметр а, равный 0.

3) Решите уравнение: х(х+1)(х+2)(х+3) = 5040. Сколько действительных корней имеет уравнение?

Для решения данного уравнения, мы можем использовать метод подстановки или факторизацию.

Метод подстановки:

Подставим различные значения для x и найдем соответствующие значения выражения х(х+1)(х+2)(х+3). Найдем такое значение x, при котором выражение равно 5040.

Попробуем подставить некоторые целочисленные значения для x:

-1: (-1)(-1+1)(-1+2)(-1+3) = (-1)(0)(1)(2) = 0 0: (0)(0+1)(0+2)(0+3) = (0)(1)(2)(3) = 0 1: (1)(1+1)(1+2)(1+3) = (1)(2)(3)(4) = 24 2: (2)(2+1)(2+2)(2+3) = (2)(3)(4)(5) = 120

Мы видим, что при x = 2, выражение х(х+1)(х+2)(х+3) превышает 5040. Значит, корень должен быть меньше 2.

Теперь попробуем значения между -1 и 2:

-0.5: (-0.5)(-0.5+1)(-0.5+2)(-0.5+3) ≈ 4.125 0.5: (0.5)(0.5+1)(0.5+2)(0.5+3) ≈ 6.125 1.5: (1.5)(1.5+1)(1.5+2)(1.5+3) ≈ 32.625

Мы видим, что при x = 1.5, выражение превышает 5040. Значит, корень должен быть между 1 и 1.5.

Продолжая подбирать значения, мы можем найти, что при x ≈ 1.38, выражение равно 5040. Таким образом, уравнение х(х+1)(х+2)(х+3) = 5040 имеет один действительный корень, приближенно равный 1.38.

Ответ: Уравнение х(х+1)(х+2)(х+3) = 5040 имеет один действительный корень.