Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции y=x/(x^2 -4) и точки экстремума.​

Answer 1

Ответ:

производная 3*x^2-2*x-1 равна 0 в -1/3 и 1

первое- максимум, второе - минимум

возрастает от -бескон до первой и от второй к +бескон

убывает от -1/3 до 1

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции и точек экстремума, нам необходимо проанализировать производную функции и её поведение.

1. Найдем производную функции y = x / (x^2 - 4). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного: y' = (x^2 - 4)(1) - x(2x) / (x^2 - 4)^2 = (x^2 - 4 - 2x^2) / (x^2 - 4)^2 = (-x^2 - 4) / (x^2 - 4)^2

2. Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю. Решим уравнение: (-x^2 - 4) / (x^2 - 4)^2 = 0

   Числитель равен нулю только при x = 0. Знаменатель не может быть равен нулю, так как x^2 - 4 = 0 имеет решения x = ±2. Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при x = 0.

3. Исследуем знак производной в интервалах между точками разрыва. Разрывы происходят при x = -2 и x = 2, так как знаменатель x^2 - 4 обращается в ноль в этих точках.

   Для этого составим таблицу:

   Интервал	-∞	-2	0	2	+∞
   y' (-x^2 - 4)	-	+	-	+	-

   Из таблицы видно, что производная отрицательна на интервалах (-∞, -2) и (0, 2), а положительна на интервалах (-2, 0) и (2, +∞).

   Таким образом, получаем:

   • Функция возрастает на интервалах (-2, 0) и (2, +∞).
   • Функция убывает на интервалах (-∞, -2) и (0, 2).

4. Определим точки экстремума, используя найденную производную. Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный при x = 0, имеем локальный минимум в точке (0, 0).

Итак, промежутки возрастания функции y = x / (x^2 - 4) находятся на интервалах (-2, 0) и (2, +∞), промежутки убывания - на интервалах (-∞, -2) и (0, 2). Точка экстремума - (0, 0) (локальный минимум).