Question

Найменший додатний період для функції 2cos(2x-3x/7)

Answer 1

$y = 2\cos\left(2x - \dfrac{3x}{7} \right) = 2\cos \dfrac{11x}{7}$

Для того чтобы найти период функции, следует воспользоваться формулой $T = \dfrac{T_{0}}{k}$, где $k$ — коэффициент перед аргументом, а $T_{0}$ — период элементарной функции.

Следовательно, коэффициент $k$ перед аргументом заданной функции равен $\dfrac{11}{7}$, а период $T_{0}$ элементарной функции $y = \cos x$ равен $2\pi$, значит, $T = \dfrac{2\pi}{\dfrac{11}{7} } = \dfrac{14}{11}\pi$

Ответ: $\dfrac{14}{11}\pi$

Answer 2

Для знаходження найменшого додатнього періоду функції 2cos(2x-3x/7), ми повинні знайти значення x, при яких функція повторюється знову.

Зауважте, що функція cos(x) має період 2π. У цьому випадку, ми маємо cos(2x-3x/7), що еквівалентне cos(8x/7).

Щоб знайти найменший додатній період, ми повинні знайти таке значення a, де a > 0, таке, що cos(8x/7) = cos(8(x+a)/7) для всіх x.

Використовуючи властивості косинуса, ми можемо записати:

cos(8x/7) = cos(8(x+a)/7) 8(x+a)/7 = 2πn ± 8x/7, де n - ціле число

Розв'язавши це рівняння відносно a, ми отримуємо:

8(x+a)/7 - 8x/7 = 2πn (8a - 8x)/7 = 2πn 8a - 8x = 14πn

Зазначимо, що a - це додатне значення періоду, тому 8a - 8x повинно бути додатним. Це може статися тільки тоді, коли 14πn > 0, тобто n > 0.

Отже, найменший додатній період буде, коли n = 1:

8a - 8x = 14π

Знайдемо розв'язок відносно a:

8a = 14π + 8x a = (14π + 8x)/8 a = 7π/4 + x

Таким чином, найменший додатній період для функції 2cos(2x-3x/7) є 7π/4.