Question

Розв'яжіть рівняння 2cos 2x= -√2

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi,\; k\in Z\\x=\dfrac{5\pi}{8}+k\pi,\; k\in Z$

Объяснение:

$2cos(2x)=-\sqrt{2}\\cos(2x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\2x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi,\; k\in Z\\2x=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi,\; k\in Z\\\\\\x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi,\; k\in Z\\x=\dfrac{5\pi}{8}+k\pi,\; k\in Z$

Answer 2

Для того щоб розв'язати рівняння 2cos(2x) = -√2, спростимо його спочатку, а потім знайдемо значення x.

1. Спрощення рівняння: Почнемо зі спрощення косинуса подвійного кута. Знаємо, що: cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

2cos(2x) = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Тепер підставимо -√2 замість 2cos(2x):

2(cos^2(x) - sin^2(x)) = -√2

2. Перенесемо все в один бік рівняння:

2cos^2(x) - 2sin^2(x) + √2 = 0

3. Знаходимо тригонометричний тотожність: cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Тепер можемо переписати рівняння:

2(1 - 2sin^2(x)) + √2 = 0

4. Розв'язуємо рівняння: Розкриємо дужки:

2 - 4sin^2(x) + √2 = 0

Тепер перенесемо все, що містить синус на один бік рівняння:

4sin^2(x) = 2 + √2

5. Знаходимо значення синуса:

sin^2(x) = (2 + √2) / 4

sin(x) = ± √((2 + √2) / 4)

sin(x) = ± √((1 + √2) / 2)

Зверніть увагу, що синус може мати позитивне або негативне значення.

6. Знаходимо значення x:

Тепер знайдемо значення x, використовуючи обернену функцію синуса:

x = arcsin(± √((1 + √2) / 2)) + k*π, де k - ціле число.

Отже, є два розв'язки: x1 = arcsin(√((1 + √2) / 2)) + kπ, де k - ціле число. x2 = arcsin(-√((1 + √2) / 2)) + kπ, де k - ціле число.