Question

Решите неравенство |x²-4x+3|≤x-1

Answer 1

$|x^{2}-4x+3|\leq x-1$

$-(x-1)\leq x^{2}-4x+3\leq x-1$

$\left \{ {{x^2-4x+3\leq x-1} \atop {x^2-4x+3\geq -x+1}} \right.$

$\left \{ {{x^2-4x+3-x+1\leq 0} \atop {x^2-4x+3+x-1\geq 0}} \right.$

$\left \{ {{x^2-5x+4\leq 0} \atop {x^2-3x+2\geq 0}} \right.$

$\left \{ {{1\leq x\leq 4} \atop {x\leq 1;x\geq 2}} \right.$

Общее решение:

$x$ ∈ {$1$}∪[2; 4]

Answer 2

Для решения данного неравенства, разберемся с модулем сначала:

1. Если выражение внутри модуля (x²-4x+3) положительно или равно нулю, модуль может быть опущен. Таким образом, рассмотрим два случая:

   a) x²-4x+3 ≥ 0 b) x²-4x+3 < 0

2. Решим каждый из этих случаев и учитываем, что |a| ≤ b, где "a" - модуль выражения, "b" - правая сторона неравенства.

a) x²-4x+3 ≥ 0:

Для нахождения корней квадратного уравнения x²-4x+3 = 0, используем формулу дискриминанта D = b²-4ac:

D = (-4)² - 413 = 16 - 12 = 4.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных вещественных корня:

x₁ = (-(-4) + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3, x₂ = (-(-4) - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1.

Исследуем знак выражения x²-4x+3 для различных интервалов:

• ( -∞, 1 ): Выражение (x²-4x+3) > 0 (знак "+"), т.к. находится выше оси x.
• ( 1, 3 ): Выражение (x²-4x+3) < 0 (знак "-"), т.к. находится под осью x.
• ( 3, +∞ ): Выражение (x²-4x+3) > 0 (знак "+"), т.к. находится выше оси x.

Теперь учтем модуль: |x²-4x+3|.

• ( -∞, 1 ): |x²-4x+3| = -(x²-4x+3) (так как в этом интервале выражение отрицательно).
• ( 1, 3 ): |x²-4x+3| = (x²-4x+3) (так как в этом интервале выражение положительно).
• ( 3, +∞ ): |x²-4x+3| = (x²-4x+3) (так как в этом интервале выражение положительно).

Теперь уравнение примет вид:

a) - (x²-4x+3) ≤ x-1, если x ∈ (-∞, 1], b) x²-4x+3 ≤ x-1, если x ∈ (1, 3], c) x²-4x+3 ≤ x-1, если x ∈ (3, +∞).

Решим каждое уравнение:

a) - (x²-4x+3) ≤ x-1: -x² + 4x - 3 ≤ x - 1, -x² + 3x - 2 ≤ 0.

Уравнение получилось квадратным. Найдем корни:

x₁ = (-3 + √((-3)² - 4*(-1)(-2))) / (2(-1)) = (3 + √(9 - 8)) / -2 = (3 + 1) / -2 = -2, x₂ = (-3 - √((-3)² - 4*(-1)(-2))) / (2(-1)) = (3 - √(9 - 8)) / -2 = (3 - 1) / -2 = -1.

Учитывая интервал (-∞, 1], убеждаемся, что оба корня принадлежат этому интервалу.

b) x²-4x+3 ≤ x-1: x² - 5x + 4 ≤ 0.

Уравнение получилось квадратным. Найдем корни:

x₁ = (5 + √(5² - 414)) / 2 = (5 + √(25 - 16)) / 2 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4, x₂ = (5 - √(5² - 414)) / 2 = (5 - √(25 - 16)) / 2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1.

Учитывая интервал (1, 3], видим, что корень x₂ = 1 не принадлежит данному интервалу.

c) x²-4x+3 ≤ x-1: x² - 5x + 4 ≤ 0.

Уравнение такое же, как в предыдущем пункте. Из уравнения b) мы уже нашли корни, и они относятся к интервалу (1, 3].

Таким образом, решение неравенства |x²-4x+3| ≤ x-1 состоит из двух интервалов:

1. x ∈ (-∞, 1],
2. x ∈ (1, 3].

Ответ: x ∈ (-∞, 1] ∪ (1, 3].