Question

Упростите выражение, преобразуйте произведение в сумму sin24°⋅cos24°⋅2(sin^2 34°+cos^2 34°)+cos56°⋅cos14°.

Answer 1

sin24°⋅cos24°⋅2

(sin² 34°+cos²34°)+cos56°⋅cos14°=sin48°⋅1+0.5*cos42°+0.5cos70°=

1.5cos42°+0.5cos70°

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Тождество суммы синуса и косинуса: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

2. Тождество удвоенного угла для синуса: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.

Теперь преобразуем выражение:

$\sin 24° \cdot \cos 24° \cdot 2(\sin^2 34° + \cos^2 34°) + \cos 56° \cdot \cos 14°$.

1. Заменим $\sin^2 34° + \cos^2 34°$ на 1:

$\sin 24° \cdot \cos 24° \cdot 2(1) + \cos 56° \cdot \cos 14°$.

2. Перепишем $\sin 24° \cdot \cos 24°$ как $\frac{1}{2} \sin(2 \cdot 24°)$:

$\frac{1}{2} \sin(2 \cdot 24°) \cdot 2 + \cos 56° \cdot \cos 14°$.

3. Используем тождество для удвоенного угла синуса $\sin(2 \theta)$:

$\sin(48°) + \cos 56° \cdot \cos 14°$.

4. Нам нужно теперь упростить $\sin(48°)$ и преобразовать $\cos 56° \cdot \cos 14°$ в сумму:

Для этого воспользуемся следующими тождествами:

• Тождество для синуса суммы углов: $\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$.

• Тождество для косинуса суммы углов: $\cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B$.

Таким образом, $\sin(48°) = \sin(34° + 14°)$, и $\cos(56°) \cdot \cos(14°) = \cos(34° + 20°)$.

$\sin(48°) = \sin(34° + 14°) = \sin 34° \cdot \cos 14° + \cos 34° \cdot \sin 14°$.

$\cos(56°) \cdot \cos(14°) = \cos(34° + 20°) = \cos 34° \cdot \cos 20° - \sin 34° \cdot \sin 20°$.

Теперь вернемся к исходному выражению и заменим $\sin(48°)$ и $\cos(56°) \cdot \cos(14°)$:

$\sin(48°) + \cos(56°) \cdot \cos(14°) = (\sin 34° \cdot \cos 14° + \cos 34° \cdot \sin 14°) + (\cos 34° \cdot \cos 20° - \sin 34° \cdot \sin 20°)$.

Теперь можно объединить подобные слагаемые (синусы и косинусы с одним и тем же углом):

$= \sin 34° \cdot \cos 14° + \cos 34° \cdot \sin 14° + \cos 34° \cdot \cos 20° - \sin 34° \cdot \sin 20°$.

Далее, упростим дальше, используя замечательное тригонометрическое тождество:

Тождество для синуса суммы углов: $\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$.

Применим его к последним четырем слагаемым:

$= \sin 34° \cdot \cos 14° + \cos 34° \cdot \sin 14° + \sin 34° \cdot \cos 20° + \cos 34° \cdot \sin 20°$.

Теперь заметим, что первое и третье слагаемые идентичны, а также второе и четвертое:

$= (\sin 34° \cdot \cos 14° + \sin 34° \cdot \cos 20°) + (\cos 34° \cdot \sin 14° + \cos 34° \cdot \sin 20°)$.

Мы можем вынести общий множитель $\sin 34°$ из первой скобки и общий множитель $\cos 34°$ из второй скобки:

$= \sin 34° \cdot (\cos 14° + \cos 20°) + \cos 34° \cdot (\sin 14° + \sin 20°)$