Question

Упростите выражение, преобразуйте произведение в сумму sin24°⋅cos24°⋅2(sin234°+cos234°)+cos56°⋅cos14°.

Answer 1

sin24°⋅cos24°⋅2

(sin² 34°+cos²34°)+cos56°⋅cos14°=sin48°⋅1+0.5*cos42°+0.5cos70°=

1.5cos42°+0.5cos70°

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами и угловыми суммами:

1. Тождество синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
2. Тождество косинуса двойного угла: cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Также нам понадобится знание о значениях синусов и косинусов углов 24°, 56°, и 14°, которые можно найти в таблицах или использовать калькулятор.

1. sin(24°) = 0.4067
2. cos(24°) = 0.9135
3. sin(56°) = 0.8290
4. cos(56°) = 0.5592
5. sin(14°) = 0.2419
6. cos(14°) = 0.9703

Теперь заменим произведение синусов и косинусов двойных углов согласно тригонометрическим тождествам:

sin(24°)⋅cos(24°)⋅2(sin(234°)+cos(234°)) + cos(56°)⋅cos(14°) = 2sin(24°)cos(24°)⋅(sin(234°)+cos(234°)) + cos(56°)⋅cos(14°)

Затем преобразуем sin(234°) и cos(234°) используя угловую сумму:

sin(234°) = sin(180° + 54°) = -sin(54°) cos(234°) = cos(180° + 54°) = -cos(54°)

Теперь вставим значения в выражение:

2sin(24°)cos(24°)⋅(sin(234°)+cos(234°)) + cos(56°)⋅cos(14°) = 2(0.4067)(0.9135)(-sin(54°)+cos(54°)) + (0.5592)(0.9703)

Теперь рассчитаем значения sin(54°) и cos(54°):

sin(54°) = 0.8090 cos(54°) = 0.5878

Теперь подставим:

2(0.4067)(0.9135)(-0.8090+0.5878) + (0.5592)(0.9703) = 2(0.3719)(-0.2212) + 0.5433 = -0.1645

Таким образом, упрощенное выражение равно -0.1645.