Question

Исследуйте, при каких значениях х имеет смысл выражение: 1/ sinx+1; 1/cosx-1; √sinx; √1+cosx

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{1}{sinx+1}\\\\sinx+1\ne 0\; \; ,\; \; sinx\ne -1\; \; ,\; \; x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\2)\; \; y=\frac{1}{cosx-1}\\\\cosx-1\ne 0\; \; ,\; \; cosx\ne 1\; \; ,\; \; x\ne 2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\3)\; \; y=\sqrt{sinx}\\\\sinx\geq 0\; \; ,\; \; x\in [\; 2\pi n\; ;\; \pi +2\pi n\; ]\; ,\; n\in Z\\\\4)\; \; y=\sqrt{1+cosx}\\\\1+cosx\geq 0\; \; ,\; \; cosx\geq -1\; \; ,\; \; x\in (-\infty ;+\infty )$

Answer 2

1/(sinx+1) имеет смысл когда знаменатель не равен нулю.

т.е. sinx≠-1; х≠-π/2+2πn, где n∈Z

Если условие такое (1/sinx)+1, то х≠πn, где n∈Z

Выражение (1/cosx)-1 имеет смысл, когда cosx≠0, т.е.  х≠π/2+πn, где n∈Z

Выражение 1/(cosx-1) имеет смысл, когда cosx≠1, т.е.  х≠2πn, где n∈Z

√sinx имеет смысл, когда  sinх≥0, т.е. х∈[2πn; π+2πn], где n∈Z

√(1+cosx)  имеет смысл, когда  cosх≥-1, т.е. х∈[-π+2πn;π+2πn], где n∈Z

Answer 3

Для определения значений x, при которых данные выражения имеют смысл, нужно учитывать различные математические ограничения и особенности функций. Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1. Выражение: 1/sinx + 1 Здесь в знаменателе стоит синус x. Синус от x равен 0 в точках, когда x = kπ, где k - целое число. Ноль в знаменателе приведет к делению на ноль, что недопустимо в математике. Поэтому выражение не имеет смысла при значениях x = kπ.

2. Выражение: 1/cosx - 1 В знаменателе у нас косинус x. Косинус от x равен 0 в точках, когда x = (2k + 1)π/2, где k - целое число. При этих значениях x также возникает деление на ноль, что делает выражение неопределенным. Таким образом, выражение не имеет смысла при значениях x = (2k + 1)π/2.

3. Выражение: √sinx Здесь мы берем квадратный корень из синуса x. В этом случае, смысл имеет выражение, когда аргумент синуса (x) лежит в диапазоне от 0 до π, так как значения синуса находятся в интервале от 0 до 1 (включительно). Таким образом, выражение имеет смысл при значениях x в диапазоне 0 ≤ x ≤ π.

4. Выражение: √1 + cosx Здесь мы берем квадратный корень из выражения (1 + cosx). Так как косинус может принимать значения от -1 до 1, то выражение (1 + cosx) может быть неотрицательным, а значит, корень из него имеет смысл. Таким образом, это выражение имеет смысл для всех значений x.

Выводы:

• Выражения 1/sinx + 1 и 1/cosx - 1 не имеют смысла при определенных значениях x, а именно, при x = kπ и x = (2k + 1)π/2 соответственно.
• Выражение √sinx имеет смысл при значениях x в диапазоне от 0 до π.
• Выражение √1 + cosx имеет смысл для всех значений x.