Question

При каких значениях k все решения неравенства (k - 2) х + 2k -16 <= 0 удовлетворяют условию | х | >= 5?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(k-2)x+2k-16≤0, где |x|≥5

Допустим:

(k-2)x+2k-16=0; kx-2x+2k-16=0

При x=-5:

-5k-2·(-5)+2k-16=0; -3k+10-16=0; -3k=6; k=6/(-3)=-2

Проверка: (-2-2)·(-5)+2·(-2)-16≤0; 20-20≤0; 0=0 - неравенство выполняется. Следовательно, при x=-5: k=-2.

При x<-5:

-6k-2·(-6)+2k-16=0; -4k+12-16=0; -4k=4; k=4/(-4)=-1

Проверка: (-1-2)·(-6)+2·(-1)-16≤0; 6-18≤0; -12<0 - неравенство выполняется. Следовательно, при x<-5: k=-1⇒ при x≤-5: k₁≤-2.

При x=5:

5k-2·5+2k-16=0; 7k-10-16=0; 7k=26; k=26/7=3 5/7

Проверка: (3 5/7 -2)·5+2·26/7 -16≤0; 12/7 ·5+52/7 -16≤0; 112/7-16≤0; 16-16≤0; 0=0 - неравенство выполняется. Следовательно, при x=5: k=3 5/7.

При x>5:

6k-2·6+2k-16=0; 4k-12-16=0; 4k=28; k=7

Проверка: (7-2)·5+2·7-16≤0; 25-2≤0; 23>0 - неравенство не выполняется. Вывод: при |x|≥5, где x≤-5: k∈(-∞; -2].

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра k, при которых все решения неравенства удовлетворяют условию |x| >= 5, нужно выполнить следующие шаги:

1. Решить неравенство (k - 2)x + 2k - 16 <= 0.
2. Найти решения неравенства из пункта 1.
3. Проверить, что все найденные решения удовлетворяют условию |x| >= 5.

Шаг 1: (k - 2)x + 2k - 16 <= 0

Шаг 2: Чтобы решить это неравенство, нужно рассмотреть два случая: когда (k - 2) >= 0 и когда (k - 2) < 0.

Случай 1: (k - 2) >= 0 Тогда неравенство (k - 2)x + 2k - 16 <= 0 превращается в: x + 2k - 16 <= 0

Теперь рассмотрим случай, когда (k - 2) < 0: Тогда мы должны поменять направление неравенства на противоположное: -(k - 2)x + 2k - 16 <= 0

• kx + 2x + 2k - 16 <= 0

Шаг 3: Теперь рассмотрим каждый из двух случаев и найдем решения для x.

Случай 1: (k - 2) >= 0 x + 2k - 16 <= 0 x <= 16 - 2k

Случай 2: (k - 2) < 0 -kx + 2x + 2k - 16 <= 0 x(2 - k) <= 16 - 2k x >= (16 - 2k) / (2 - k)

Теперь нам нужно убедиться, что найденные решения удовлетворяют условию |x| >= 5.

Для первого случая: x <= 16 - 2k Поскольку мы хотим, чтобы |x| >= 5, то x должно быть либо меньше или равно -5, либо больше или равно 5:

1. x <= 16 - 2k <= -5 16 - 2k <= -5 2k >= 21 k >= 10.5
2. x <= 16 - 2k >= 5 16 - 2k >= 5 2k <= 11 k <= 5.5

Для второго случая: x >= (16 - 2k) / (2 - k) Аналогично, чтобы удовлетворить условию |x| >= 5, x должно быть либо меньше или равно -5, либо больше или равно 5:

1. x >= (16 - 2k) / (2 - k) <= -5 16 - 2k <= -5(2 - k) 16 - 2k <= -10 + 5k 7k <= 26 k <= 26/7
2. x >= (16 - 2k) / (2 - k) >= 5 16 - 2k >= 5(2 - k) 16 - 2k >= 10 - 5k 3k <= 6 k <= 2

Итак, все решения удовлетворяют условию |x| >= 5 при значениях k, удовлетворяющих неравенствам: k >= 10.5 k <= 5.5 k <= 2

Объединим эти значения и получим итоговый ответ: k <= 2.