Question

Найдите производную функции y=³√(1-x²)​

Answer 1

$y=\sqrt[3]{(1-x^2)}\; \; ,\; \; y=(1-x^2)^{\frac{1}{3}}\\\\y'=\frac{1}{3}\cdot (1-x^2)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (1-x^2)'=\frac{1}{3}\cdot (1-x^2)^{-\frac{2}{3}}\cdot (-2x)=-\frac{2x}{3\sqrt[3]{(1-x^2)^2}}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = ³√(1 - x²), мы можем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Давайте выполним несколько шагов для нахождения производной.

Шаг 1: Обозначим данную функцию как y = uⁿ, где u = (1 - x²) и n = 1/3. Шаг 2: Прологарифмируем обе стороны уравнения, чтобы избавиться от корня кубического: ln(y) = ln(uⁿ). Шаг 3: Применим правило дифференцирования сложной функции (chain rule) к левой и правой сторонам уравнения.

• Дифференцируем левую сторону: d/dx[ln(y)] = (1/y) * dy/dx.
• Дифференцируем правую сторону:
  • По правилу дифференцирования степенной функции, dy/dx = n * u^(n-1) * du/dx.
  • По правилу дифференцирования разности, du/dx = d/dx(1 - x²) = -2x.

Шаг 4: Подставим полученные значения в уравнение и решим его относительно dy/dx: (1/y) * dy/dx = n * u^(n-1) * du/dx. (1/y) * dy/dx = (1/3) * (1 - x²)^(-2/3) * (-2x). dy/dx = (2x/3) * (1 - x²)^(-2/3) / y.

Шаг 5: Найдем значение y, заменив его исходную функцию: y = ³√(1 - x²). Подставим это в уравнение: dy/dx = (2x/3) * (1 - x²)^(-2/3) / ³√(1 - x²).

Итак, производная функции y = ³√(1 - x²) равна: dy/dx = (2x/3) * (1 - x²)^(-2/3) / ³√(1 - x²).