Question

Из списка натуральных чисел 1, 2, ..., N вычеркнули все числа, кратные 3 или 4 (числа, кратные и 3, и 4, вычеркнули). После этого осталось ровно 2017 чисел. Найдите N.

Answer 1

Кол-во чисел от 1 до N, делящихся на x, равно [N/x].

Тогда, по формуле включения исключений, кол-во вычеркнутых чисел равно [N/3]+[N/4]-[N/12]

N=2017+[N/3]+[N/4]-[N/12]

N=2017+N/3-{N/3}+N/4-{N/4}-N/12+{N/12}

N/2=2017+{N/12}-{N/3}-{N/4}

{x}∈[0;1)=>{N/12}-{N/3}-{N/4}∈(-2;1)

-2<N/2-2017<1

2015<N/2<2018

4030<N<4036

N=4031: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1343+1007-335=2015

N=4032: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1344+1008-336=2016

N=4033: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1344+1008-336=2016=N-2017 - верно

N=4034: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1344+1008-336=2016

N=4035: [N/3]+[N/4]-[N/12]=1345+1008-336=2017

Ответ: 4033

_____________________

{x} - дробная часть числа x

[x] - целая часть числа x

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Известно, что в диапазоне от 1 до N всего N чисел. Мы хотим вычеркнуть все числа, кратные 3 или 4, и у нас должно остаться ровно 2017 чисел.

Поскольку мы хотим вычеркнуть числа, кратные 3 или 4, нам следует воспользоваться принципом включения и исключения. Этот принцип гласит:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|,

где A - множество чисел, кратных 3, B - множество чисел, кратных 4, A ∩ B - множество чисел, кратных одновременно 3 и 4.

Числа, кратные 3, можно записать как {3, 6, 9, ...}, а числа, кратные 4, как {4, 8, 12, ...}. Число 12 является наименьшим числом, которое делится и на 3, и на 4, поэтому множество A ∩ B будет состоять из чисел {12, 24, 36, ...}.

Теперь нам нужно найти количество чисел в каждом из множеств и в их пересечении:

|A| = N / 3, |B| = N / 4, |A ∩ B| = N / 12.

Используя принцип включения и исключения, мы можем записать:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| = N / 3 + N / 4 - N / 12.

Мы знаем, что после вычеркивания чисел, количество оставшихся чисел равно 2017:

N - N / 3 - N / 4 + N / 12 = 2017.

Давайте решим это уравнение для N:

N - N / 3 - N / 4 + N / 12 = 2017, 12N - 4N - 3N + N = 24204, 6N = 24204, N = 24204 / 6, N = 4034.

Итак, исходное число N равно 4034.