Question

Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

Исходная дробь равна  $\displaystyle\frac{2}{5}$

Объяснение:

Пусть х - знаменатель дроби, тогда

(х - 3) - числитель дроби

х - целое число

$\frac{x-3}{x}$ - искомая дробь

$\frac{x}{x-3}$ - обратная дробь.

7,25 = 29/4

По условию $\frac{x-3}{x} + \frac{x}{x-3} = \frac{29}{4}\cdot \frac{x-3}{x}$

$\frac{(x-3)^{2}+x^{2}}{x(x-3)}= \frac{29}{4} \cdot \frac{x-3}{x}$

$\frac{2x^{2}-6x+9 }{x-3}= \frac{29(x-3)}{4}$

8x² - 24x + 36 = 29x² - 174x + 261

21x² - 150x + 225 = 0

7x² - 50x + 75 = 0

D = 50² - 4 · 7 · 75 = 400

√D = 20

x₁ = (50 - 20)/14 = 30/14 = 15/7 - это число не является целым, поэтому не может быть знаменателем дроби

х₂ = (50 + 20)/14 = 5 - знаменатель дроби

5 - 3 = 2 - числитель дроби

Answer 2

Давайте предположим, что исходная дробь имеет вид x/y, где x - числитель, y - знаменатель. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

1. x = y - 3 (Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя)
2. x/y + y/x = 7.25 (Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби)

Теперь решим систему уравнений.

Шаг 1: Подставим x из первого уравнения во второе:

(y - 3) / y + y / (y - 3) = 7.25

Шаг 2: Приведем общий знаменатель:

(y - 3) / y + y * y / (y * (y - 3)) = 7.25

Шаг 3: Умножим оба члена уравнения на y(y - 3), чтобы избавиться от знаменателя:

(y - 3)(y - 3) + y^2 = 7.25 * y * (y - 3)

Шаг 4: Раскроем скобки:

y^2 - 6y + 9 + y^2 = 7.25y^2 - 21.75y

Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

2y^2 - 6y + 9 - 7.25y^2 + 21.75y = 0

Шаг 6: Упростим уравнение:

-5.25y^2 + 15.75y + 9 = 0

Шаг 7: Разделим все члены уравнения на -0.75 (чтобы упростить вычисления):

7y^2 - 21y - 12 = 0

Шаг 8: Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = 7, b = -21, c = -12

D = (-21)^2 - 4 * 7 * (-12) = 441 + 336 = 777

Шаг 9: Найдем корни уравнения:

y = (-b ± √D) / 2a y = (21 ± √777) / 14

y1 = (21 + √777) / 14 ≈ 2.94 y2 = (21 - √777) / 14 ≈ 0.43

Заметим, что для нашего случая нам подойдет только значение y ≈ 2.94, так как при y ≈ 0.43 в первом уравнении x = y - 3 даст отрицательное значение, что не подходит для знаменателя.

Шаг 10: Теперь найдем x:

x = y - 3 ≈ 2.94 - 3 ≈ -0.06

Таким образом, исходная дробь равна x/y ≈ -0.06 / 2.94, что приближенно равно -0.02.