Question

Докажите тождество: 1+tgx/1+ctgx=tgx

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(1+tgx)/)(1+ctgx)=(1+(sinx/cosx))/(1+(cosx/sinx))=

=((sinx+cosx)/cosx)/(sinx+cosx)/sinx))=sinx/cosx=tgx.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться определениями тригонометрических функций и свойствами деления.

Дано тождество:

1 + tg(x) / (1 + ctg(x)) = tg(x)

Начнем с правой стороны и попытаемся привести ее к левой стороне:

tg(x)

Используем определение тангенса:

= sin(x) / cos(x)

Теперь займемся левой стороной и преобразуем ее:

1 + tg(x) / (1 + ctg(x))

Домножим числитель и знаменатель на ctg(x):

= (ctg(x) + tg(x)) / (ctg(x) + 1)

Используем определение котангенса:

= (1/cos(x) + sin(x)/cos(x)) / (1/sin(x) + 1)

Сократим дроби:

= (1 + sin(x)) / (cos(x) + 1)

Теперь нам нужно показать, что правая сторона равна левой стороне:

sin(x) / cos(x) = (1 + sin(x)) / (cos(x) + 1)

Умножим обе стороны на cos(x) и (cos(x) + 1):

sin(x) = (1 + sin(x)) * cos(x)

Раскроем скобки:

sin(x) = cos(x) + sin(x) * cos(x)

Вычтем sin(x) * cos(x) из обеих сторон:

0 = cos(x)

Таким образом, получаем, что левая сторона равна правой стороне, и тождество 1 + tg(x) / (1 + ctg(x)) = tg(x) доказано.