Question

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!Найдите общий вид первообразных:f(x)=5e^1-4x f(x)=0,8^3x +2x​

Answer 1

$1)\; \; F(x)=\int 5e^{1-4x}\, dx=5\cdot \frac{1}{-4}\cdot e^{1-4x} +C=-\frac{5}{4}\cdot e^{1-4x}+C\; ;\\\\\\2)\; \; F(x)=\int (\; 0,8^{3x}+2x)\, dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{0,8^{3x}}{ln\, 0,8}+2\cdot \frac{x^2}{2}+C=\frac{0,8^{3x}}{3\cdot ln\, 0,8}+x^2+C\; .\\\\\\\star \; \; \int a^{kx+b}\, dx=\frac{1}{k}\cdot \frac{a^{kx+b}}{ln\, a}+C\; \; \star$

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразных данных функций, нам нужно найти интегралы от каждой из них. Интегрирование - это обратный процесс дифференцирования.

1. Интеграл функции f(x) = 5e^(1-4x): Для нахождения интеграла этой функции, используем общее правило интегрирования для функции e^(kx), где k - некоторая постоянная: ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C, где C - произвольная постоянная.

В нашем случае, k = -4, поэтому: ∫5e^(1-4x) dx = (5/-4)e^(1-4x) + C = -(5/4)e^(1-4x) + C.

2. Интеграл функции f(x) = 0,8^(3x) + 2x: Для нахождения интеграла этой функции, разделим ее на два слагаемых и интегрируем каждое отдельно.

∫0,8^(3x) dx: Для интегрирования этой функции используем общее правило интегрирования для функции a^(kx), где a - некоторая постоянная. ∫a^(kx) dx = (1/(k*ln(a)))a^(kx) + C, где C - произвольная постоянная.

В нашем случае, a = 0,8 и k = 3, поэтому: ∫0,8^(3x) dx = (1/(3*ln(0,8)))0,8^(3x) + C1.

∫2x dx: Интегрируем эту функцию обычным способом: ∫2x dx = x^2 + C2.

Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) = 0,8^(3x) + 2x: ∫(0,8^(3x) + 2x) dx = (1/(3*ln(0,8)))0,8^(3x) + x^2 + C, где C - произвольная постоянная.