Question

Найти все решения уравнения cos (x/2)=(корень из 3/2) на отрезке [-4п;4п] Помогите пожалуйста

Answer 1

$cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\; \; ,\; \; x\in [-4\pi ,4\pi \, ]\\\\\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\underline {\; x=\pm \frac{\pi}{3}+4\pi n\; ,\; n\in Z\; }\\\\a)\; \; -4\pi \leq \frac{\pi }{3}+4\pi n\leq 4\pi \; \; ,\; \; -4\leq \frac{1}{3}+4n\leq 4\; \; ,\; \; -\frac{13}{3}\leq 4n\leq \frac{11}{3}\; ,\\\\-\frac{13}{12}\leq n\leq \frac{11}{12}\; ,\; n\in Z\; \; \Rightarrow \; \; \; n=-1,\; 0\; .\\\\n=-1\; \; \to \; \; x=\frac{\pi}{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}$

$n=0\; \; \to \; \; x=\frac{\pi }{3}\\\\b)\; \; -4\pi \leq -\frac{\pi }{3}+4\pi n\leq 4\pi \; \; ,\; \; -4\leq -\frac{1}{3}+4n\leq 4\; \; ,\; \; -\frac{11}{3}\leq 4n\leq \frac{13}{3}\; ,\\\\-\frac{11}{12}\leq n\leq \frac{13}{12}\; ,\; n\in Z\; \; \Rightarrow \; \; \; n=0,\; 1\; .\\\\n=0\; \; \to \; \; x=-\frac{\pi}{3}\\\\n=1\; \; \to \; \; x=-\frac{\pi}{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}$

$Otvet:\; \; 1)\; \; x=\pm \frac{\pi}{3}+4\pi n\; ,\; n\in Z\; ;\\\\2)\; \; x\in [-4\pi ,4\pi \, ]:\; x=-\frac{11\pi}{3}\; ,\; x=-\frac{\pi }{3}\; ,\; x=\frac{\pi}{3}\; ,\; x=\frac{11\pi }{3}\; .$

Answer 2

Для решения уравнения cos(x/2) = √(3/2) на отрезке [-4π; 4π], следует выполнить несколько шагов:

1. Найдите все значения аргумента x, которые удовлетворяют уравнению в интервале [-4π; 4π]. Для этого решите уравнение cos(x/2) = √(3/2) относительно x на этом интервале.

2. Из полученных значений аргумента x выберите только те, которые находятся в указанном интервале.

Давайте начнем с первого шага:

1. Решение уравнения cos(x/2) = √(3/2): Учитывая, что cos(π/6) = √(3/2), мы можем записать: x/2 = π/6 + 2πn, где n - целое число.

   Теперь найдем значения x: x = π/3 + 4πn, где n - целое число.

2. Теперь выберем только те значения x, которые находятся в интервале [-4π; 4π]. Заметим, что в данном интервале одно из таких значений: x = π/3 (при n = 0). Для того чтобы найти другие решения, найдем границы интервала [-4π; 4π], которые удовлетворяют уравнению:

   x = π/3 + 4πn Найдем максимальное и минимальное значение n, чтобы x находился в указанном интервале: a) Когда x = -4π, π/3 + 4πn = -4π 4πn = -4π - π/3 n = (-4π - π/3) / 4π ≈ -1.3613

   b) Когда x = 4π, π/3 + 4πn = 4π 4πn = 4π - π/3 n = (4π - π/3) / 4π ≈ 1.6387

   Таким образом, n должно находиться в интервале [-2; 1], чтобы x оставалось в интервале [-4π; 4π].

   Теперь найдем соответствующие значения x: a) x = π/3 + 4π*(-2) = π/3 - 8π ≈ -7.1888 б) x = π/3 + 4π*(-1) = π/3 - 4π ≈ -4.1888 в) x = π/3 + 4π*(0) = π/3 г) x = π/3 + 4π*(1) = π/3 + 4π ≈ 5.9524

Таким образом, все решения уравнения cos(x/2) = √(3/2) на отрезке [-4π; 4π] следующие: x ≈ -7.1888, x ≈ -4.1888, x = π/3 (при n = 0), x ≈ 5.9524.