Question

Решите и распишите пожалуйста уравнение: 3^x*4^x=(12^x+1)^5

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

12^x=12^(5x+5),  x=5x+5,  4x=-5,  x=-5/4=-1,25     (a^x*b^x=(ab)^x )

Answer 2

Для решения уравнения 3^x * 4^x = (12^x + 1)^5, воспользуемся свойствами степеней и логарифмами. Давайте начнем:

1. Заменим 4^x на (2^2)^x, так как 4 = 2^2:

   3^x * (2^2)^x = (12^x + 1)^5

2. Применим свойство степени степени, перемножив показатели степени:

   3^x * 2^(2x) = (12^x + 1)^5

3. Раскроем скобку в правой части уравнения:

   3^x * 2^(2x) = (12^x + 1) * (12^x + 1) * (12^x + 1) * (12^x + 1) * (12^x + 1)

4. Заменим 12^x на (3^2)^x, так как 12 = 3^2:

   3^x * 2^(2x) = (3^2)^x + 1 * (3^2)^x + 1 * (3^2)^x + 1 * (3^2)^x + 1 * (3^2)^x + 1

5. Применим свойство степени степени еще раз:

   3^x * 2^(2x) = 3^(2x) + 1 * 3^(2x) + 1 * 3^(2x) + 1 * 3^(2x) + 1 * 3^(2x) + 1

6. Упростим выражение:

   3^x * 2^(2x) = 5 * 3^(2x)

7. Теперь обратим внимание на то, что у нас есть разные основания степеней: 3^x и 2^(2x). Давайте преобразуем 2^(2x) в вид с основанием 3.

   2^(2x) = (2^x)^2 = (2 * 2^x)^x = (2^x * 2^x)^x = (2^(x + x))^x = (2^(2x))^x

8. Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

   3^x * (2^(2x))^x = 5 * 3^(2x)

9. Упростим левую часть:

   3^x * 2^(2x * x) = 5 * 3^(2x)

   3^x * 2^(2x^2) = 5 * 3^(2x)

10. Теперь выразим одну базу степени через другую. Возведем обе части уравнения в логарифм по основанию 3:

log₃(3^x * 2^(2x^2)) = log₃(5 * 3^(2x))

log₃(3^x) + log₃(2^(2x^2)) = log₃(5) + log₃(3^(2x))

11. Используем свойства логарифмов: logₐ(b * c) = logₐ(b) + logₐ(c) и logₐ(b^c) = c * logₐ(b):

x * log₃(3) + 2x^2 * log₃(2) = log₃(5) + 2x * log₃(3)

12. Так как logₐ(a) = 1, упростим уравнение:

x + 2x^2 * log₃(2) = log₃(5) + 2x

13. Теперь выразим все x-ы в одну сторону уравнения, а числовые значения в другую:

2x^2 * log₃(2) - 2x = log₃(5) - x

14. Переносим все члены уравнения в одну сторону:

2x^2 * log₃(2) - 2x - log₃(5) + x = 0

15. Упростим выражение и приведем подобные члены:

2x^2 * log₃(2) - x - log₃(5) = 0

16. Теперь получили квадратное уравнение относительно x:

2x^2 * log₃(2) - x - log₃(5) = 0

17. Чтобы решить квадратное уравнение, используем квадратную формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 2 * log₃(2), b = -1 и c = -log₃(5).

18. Подставим значения a, b, c в формулу:

x = (1 ± √((-1)^2 - 4 * 2 * (-log₃(5)))) / 2 * 2 * log₃(2)

x = (1 ± √(1 + 8 * log₃(5))) / 4 * log₃(2)

19. Получаем два значения x:

x₁ = (1 + √(1 + 8 * log₃(5))) / 4 * log₃(2)

x₂ = (1 - √(1 + 8 * log₃(5))) / 4 * log₃(2)

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ и x₂. Вычислите численные значения, подставив log₃(5) и log₃(2) и найдите приближенное значение для x₁ и x₂.