Question

Знайди, в якій точці графіка функції y=f(x) дотична паралельна заданій прямій: y=5+3x, f(x)=x^3/3−4x^2+19x−7. Відповідь (при необхідності округли з точністю до десятих): дотична паралельна заданій прямій в точці з координатами

Answer 1

Ответ:

(4; $\frac{79}{3}$)

Объяснение:

Дотична може бути паралельна заданій прямій, якщо їх кутові коефіцієнти рівні між собою. Кажучи простими словами, спочатку нам потрібно знайти точку в якій похідна рівна 3 (y = 5 +3х ).

Знайдемо похідну від f(x) = x^3/3−4x^2+19x−7:

f'(х) = x^2 - 8x + 19

Прирівнюємо дане квадратне рівняння до похідної прямої ( y = 5 +3х; у' = 3):

x^2 -8x + 19 = 3

x^2-8x + 16 = 0

Згідно т.Вієта:

x1+x2 = 8

x1*x2 = 16

x1 = 4; х2 = 4

Але це тільки абсциса, щоб знайти ординати потрібно підставити знайдені точки в рівняння функції:

f(4) = $\frac{4^{3} }{3} -4*4^{2} + 19*4 - 7 = \frac{64}{3} -64+69 = \frac{64}{3} +5 = \frac{79}{3}$

По суті, у нас два кореня рівняння x1 = 4 і x2 = 4 і ми повинні були записати дві точки, однак оскільки у нас відбулося співпадіння точок, то у відповідь можна записати одну, тобто (4; $\frac{79}{3}$)

Answer 2

Щоб знайти точку, в якій графік функції має дотичну паралельну заданій прямій, спочатку знайдемо похідну функції y=f(x) та знайдемо значення x, при якому ця похідна дорівнює нахилу заданої прямої.

1. Знайдемо похідну функції y=f(x): f(x) = x^3/3 − 4x^2 + 19x − 7

f'(x) = d/dx (x^3/3) - d/dx (4x^2) + d/dx (19x) - d/dx (7) f'(x) = x^2 - 8x + 19

2. Знайдемо нахил заданої прямої, яка є паралельна дотичній: У заданій прямій y = 5 + 3x, нахил (коефіцієнт перед x) дорівнює 3.

3. Зрівняємо похідну f'(x) з нахилом 3 та знайдемо x: x^2 - 8x + 19 = 3

4. Розв'яжемо рівняння: x^2 - 8x + 19 - 3 = 0 x^2 - 8x + 16 = 0

5. Знайдемо корені рівняння за допомогою квадратного рівняння: x = (8 ± √(8^2 - 4116)) / 2 x = (8 ± √(64 - 64)) / 2 x = (8 ± √0) / 2 x = (8 ± 0) / 2

Отримаємо два однакові корені x = 4.

Тепер, щоб знайти відповідні y-координати, підставимо x = 4 в функцію f(x):

f(4) = (4^3)/3 − 4(4)^2 + 19(4) − 7 f(4) = 64/3 - 64 + 76 - 7 f(4) = 64/3 + 76 - 71 f(4) = 64/3 + 5 f(4) = 79/3 ≈ 26.3

Отже, точка, в якій графік функції має дотичну паралельну заданій прямій, має координати (4, 79/3) або, округливши з точністю до десятих, (4, 26.3).