Question

Решите методом замены (x^2+x-2)(x^2+x)=24 и задание с параметром при каких значениях “ a”x1*x2=3 x^2+(a+3)x+a^2-2a=0

Answer 1

Ответ:

x=-3, x=2

Объяснение:

$(x^2+x-2)(x^2+x)=24$

Замена: $t=x^2+x$

$(t-2)t=24\\t^2-2t-24=0\\t^2+4t-6t-24=0\\t(t+4)-6(t+4)=0\\(t+4)(t-6)=0\\\left[\begin{array}{c}t=-4\\t=6\\\end{array}\right;$

Обратная замена:

$1)\;t=-4,\; x^2+x=-4\\x^2+x+4=0\\D=1-16x\in \varnothing\\\\2)\;t=6,\; x^2+x=6\\x^2+x-6=0\\x^2-2x+3x-6=0\\x(x-2)+3(x-2)=0\\(x-2)(x+3)=0\\\left[\begin{array}{c}x=2\\x=-3\end{array}\right;$

Уравнение решено!

Answer 2

Для решения уравнения (x^2+x-2)(x^2+x)=24, начнем с замены переменной. Пусть u = x^2 + x, тогда уравнение примет вид:

u(u - 2) = 24

Теперь решим это уравнение:

u^2 - 2u - 24 = 0

Факторизуем его:

(u - 6)(u + 4) = 0

Теперь решим два уравнения для u:

1. u - 6 = 0 u = 6

2. u + 4 = 0 u = -4

Теперь подставим обратно x^2 + x вместо u:

1. x^2 + x = 6

x^2 + x - 6 = 0

Факторизуем:

(x + 3)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x:

a) x + 3 = 0 x = -3

b) x - 2 = 0 x = 2

2. x^2 + x = -4

x^2 + x + 4 = 0

Как видим, это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен (D = 1 - 414 = -15).

Теперь перейдем к следующему заданию с параметром "a".

Для уравнения x^2 + (a + 3)x + a^2 - 2a = 0, нам нужно найти значения параметра "a", при которых уравнение будет иметь два действительных корня x1 и x2 такие, что x1 * x2 = 3.

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, дискриминант должен быть больше или равен нулю: D = (a + 3)^2 - 4 * 1 * (a^2 - 2a) ≥ 0.

Раскроем скобки и упростим:

D = a^2 + 6a + 9 - (4a^2 - 8a) D = -3a^2 + 14a + 9

Теперь приравняем D к нулю и решим уравнение:

-3a^2 + 14a + 9 = 0

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = -3, b = 14, c = 9

D = 14^2 - 4 * (-3) * 9 D = 196 + 108 D = 304

Так как D > 0, уравнение имеет два действительных корня. Теперь найдем сами корни:

x1 = (-b + √D) / 2a x1 = (14 + √304) / (-6) x1 ≈ -1.66

x2 = (-b - √D) / 2a x2 = (14 - √304) / (-6) x2 ≈ 5.66

Так как у нас два корня x1 и x2, и x1 * x2 = 3, то можем записать:

(-1.66) * 5.66 = -9.395 ≈ 3

Значение близко к 3, но не совпадает точно. Это происходит из-за приближенных значений корней, и, возможно, ошибка округления при вычислениях.

Таким образом, параметр "a" должен быть таким, что уравнение x^2 + (a + 3)x + a^2 - 2a = 0 имело два действительных корня, близких к x1 ≈ -1.66 и x2 ≈ 5.66, чтобы x1 * x2 было близко к 3. В данном случае, такое значение параметра "a" не получается определить однозначно из условия.